Recordemos que una 2-forma constante en \(\mathbb{R}^n\), denotada \(\omega\),
no es otra cosa que una función bilineal alternante
\(
\varphi: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}
\)
y que definimos la integral de \(\omega\) sobre un
triángulo dirigido \(\triangle(P,Q,R)\) como
\begin{equation}\label{Eqn:defIntegral}
\int_{\triangle(P,Q,R) }\omega=\varphi(Q-P,R-P)
\end{equation}
Copiando la definición de la sección 10 una 2-forma es una función
que a cada punto del espacio le asocia una 2-forma constante. En esta sección veremos algunas de sus propiedades así como
la extensión de la integral de 2-formas a regiones más generales, no sólo triángulos
dirigidos.
Nota: en el caso de las 2-formas \(dx_i\wedge dx_j \), para simplificar
la notación se escribe
\[
\int_{\triangle(P,Q,R)}dx_idx_j=\int_{\triangle(P,Q,R)}dx_i\wedge dx_j
\]
Ejercicio
Sean \(\omega, \eta\) 2-formas constantes en \(\mathbb{R}^n\)
y \(c\in \mathbb{R}\) un escalar. Prueba
\[
\int_{\triangle(P,Q,R)}\omega+c\eta=\int_{\triangle(P,Q,R)}\omega +
c \int_{\triangle(P,Q,R)} \eta.
\]
Sea \(\varphi\) la forma bilineal asociada a \(\omega\) y \(\psi\)
la forma bilineal asociada a \(\eta\).
Entonces \(\varphi + c\psi\) es la forma bilineal asociada a
\(\omega + c\eta\).
Por lo tanto,
\begin{eqnarray*}
\int_{\bigtriangleup(P,Q,R)}\omega + c\eta & = & (\varphi + c\psi)(Q - P, R - P) \\
& = & \varphi(Q - P, R - P) + c\psi(Q - P, R - P) \\
& = & \int_{\bigtriangleup(P,Q,R)} \omega + c\int_{\bigtriangleup(P,Q,R)}\eta
\end{eqnarray*}
Definición
Una matriz se llama elemental si
se puede obtener de la matriz identidad por medio de una de las
siguientes operaciones:
Intercambiar dos filas.
Sumar a una fila un multiplo de otra fila.
Multiplicar una fila por una constante no cero.
Por ejemplo, para matrices de \(2\times 2\) las matrices elementales
son necesariamente de la forma
\begin{eqnarray*}
& & \left[
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}
\right]
\\
& & \left[
\begin{array}{cc}
1 & c \\
0 & 1
\end{array}
\right],
\quad
\left[
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
c & 1
\end{array}
\right], \quad c\in \mathbb{R}
\\
& & \left[
\begin{array}{cc}
c & 0 \\
0 & 1
\end{array}
\right],
\quad
\left[
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & c
\end{array}
\right], \quad c\in \mathbb{R}, c \ne 0
\end{eqnarray*}
Ejercicio
Sea \(A\) una matriz de \(2\times 2\) y
\(\varphi \in \Lambda^2(\mathbb{R}^2)\). Prueba
que, para todos \(P,Q\in \mathbb{R}^2\):
\[
\varphi(AP,AQ)=\det(A)\varphi(P,Q).
\]
Sugerencia: sea \(B\) la matriz de \(2\times 2\)
cuyas columnas son los vectores \(P,Q\). Nota que
\(AB\) es la matriz cuyas columnas son los vectores
\(AP,AQ\). Luego usa la propiedad del determinante que
dice \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\).
Este ejercicio es la semilla de dónde brotará el teorema
del cambio de variable en dimensión-2.
Sea \(A\) una matriz de \(2\times 2\), \(P_0\in \mathbb{R}^2\)
un punto fijo y considera la función
afín \(T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2\) dada por \(T(P)=AP+P_0\).
Sea \(\omega\) una 2-forma constante en \(\mathbb{R}^n\). Prueba:
\[
\int_{\triangle(T(P),T(Q),T(R))} \omega =\det(A)\int_{\triangle(P,Q,R)}\omega.
\]
Sugerencia: usa la Definición \eqref{Eqn:defIntegral} y
el ejercicio anterior.
Nota: El triángulo \(\triangle(T(P),T(Q),T(R))\) puede
denotarse \(T(\triangle(P,Q,R))\). La idea de ésta notación es
que el triángulo \(\triangle(P,Q,R)\) se transforma
en \(\triangle(T(P),T(Q),T(R))\) al aplciarle \(T\).
Ejercicio
Este ejercicio prueba que el resultado en el
Ejercicio 11.6
no es válido para 2-formas en \(\mathbb{R}^3\).
Considera la 2-forma constante en \(\mathbb{R}^3\)
\(dx\wedge dy\). Encuentra una
matriz elemental
\(E\) y puntos \(P,Q\in \mathbb{R}^3\) tal que
\[
(dx\wedge dy)(EP,EQ)\neq \det(E)(dx \wedge dy)(P,Q)
\]
Ejercicio
Este ejercicio es la forma correcta de generalizar
el Ejercicio 11.6,
en \(\mathbb{R}^n\), con \(n\geq 3\).
Fija \(k,l\in\{ 1,\dots, n\}\) con \(k< l\) y
sea \(A\) una matriz de \(n \times n\). Prueba
que para todos \(P,Q\in \mathbb{R}^n\):
\begin{equation}\label{Eqn:valuationPullbacks}
(dx_k \wedge dx_l)(AP,AQ)=
\sum_{1\leq r < s \leq n}
\det
\left[
\begin{array}{cc}
A[k,r] & A[k,s]\\
A[l,r] & A[l,s]
\end{array}
\right] (dx_r \wedge dx_s)(P,Q)
\end{equation}
Vamos a empezar por el lado izquierdo de \eqref{Eqn:valuationPullbacks} y vamos
a terminar en el izquierdo.
Por definición del producto cuña
\begin{eqnarray*}
(dx_k \wedge dx_l)(AP,AQ)&=&
\frac{1}{2}
\det
\left[
\begin{array}{cc}
dx_{k}(AP) & dx_l(AP) \\
dx_{k}(AQ) & dx_l(AQ)
\end{array}
\right]
\\
&=& \frac{1}{2}(dx_k(AP)dx_l(AQ) - dx_l(AP)dx_k(AQ))
\end{eqnarray*}
Pero, por la definición de producto de matriz por vector
\begin{eqnarray*}
dx_k(AP)=\sum_{j=1}^n A[k,j]p_j, \\
dx_k(AQ)=\sum_{j=1}^n A[k,j]q_j.
\end{eqnarray*}
Por lo tanto
\begin{eqnarray*}
dx_k(AP)dx_l(AQ) - dx_l(AP)dx_k(AQ)&=&
\left( \sum_{j_1=1}^n A[k,j_1]p_{j_1} \right)
\left( \sum_{j_2=1}^n A[l,j_2]q_{j_2} \right) \\
&-&
\left( \sum_{j_3=1}^n A[l,j_3]p_{j_3} \right)
\left( \sum_{j_4=1}^n A[k,j_4]q_{j_4} \right) \\
&=& \sum_{1\leq j_1, j_2 \leq n} A[k,j_1]A[l,j_2] p_{j_1} q_{j_2} \\
&-& \sum_{ 1\leq j_3, j_4 \leq n} A[l,j_3] A[k,j_4] p_{j_3} q_{j_4}
\end{eqnarray*}
En la última resta hay muchas cancelaciones. Los sumandos
cuando \(j_1=j_2\) del primer termino se cancelan con
los sumando cuando \(j_3=j_4\) del segudo. Resultando
Sea \(S\subseteq \mathbb{R}^n\). Una 2-forma en \(S\) es una función
que a cada punto \(P\in S\) asigna una 2-forma constante \(\omega_P\).
Usando la base de las funciones bilineales discutida en la sección anterior
podemos escribir
\[
\omega_P=\sum_{1\leq i < j \leq n} A_{i,j}(P)dx_i\wedge dx_j
\]
Nota que esto produce funciones \(A_{i,j}:S \to \mathbb{R}\), \(1\leq i < j \leq n\).
Si todas las funciones \(A_{i,j}:S \to \mathbb{R}\), \(1\leq i < j \leq n\),
son continuas en \(S\) decimos que la 2-forma \(\omega\) es continua en \(S\).
Si \(S=U\) es un abierto de \(\mathbb{R}^n\) y todas
las funciones \(A_{i,j}:U\to \mathbb{R}\), \(1\leq i< j \leq n\), son
diferenciables en \(U\) decimos que \(\omega\) es diferenciable en \(U\).
Con esta notación escribimos
\[
\omega=\sum_{1\leq i < j \leq n}A_{i,j}dx_i \wedge dx_j
\]
por ejemplo, una 2-forma diferenciable \(\mathbb{R}^3\) es
\[
\omega = (3x^2-y)dx\wedge dy + \cos(y^2) dx \wedge dz+ (e^x+e^y+z^4)dy\wedge dz
\]
Definición
Recordamos que, dada una función diferenciable
\(f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\), se define su
derivada exterior como la 1-forma dada por
\[
df= \sum_{i=1}^n (\partial_{x_i}f) dx_i
\]
Sea \(U\subseteq \mathbb{R}^n\) un abierto y considera una 1-forma diferenciable en \(U\)
\[
\omega= \sum_{i=1}^n f_i dx_i
\]
Definimos la derivada exterior de
\(\omega\), denotada \(d\omega\), como la
2-forma dada por
\[
d\omega= \sum_{i=1}^n (df_i) \wedge dx_i
\]
Nota que \(df_i\) es una 1-forma por lo que \(df_i\wedge dx_i\) es una 2-forma
la cual se puede escribir en términos de la base \(dx_k\wedge dx_l\) usando las
reglas algebráicas del Ejercicio 12.7
Por ejemplo, si consideramos
la 1-forma en \(\mathbb{R}^3\)
\[
\omega=(2x+y)dx+ (6x-3y)dy+ (x+z)dz
\]
entonces, usando que las derivadas
exteriores de las funciones coordenadas son:
\begin{eqnarray*}
d(2x+y)=2dx+dy, \\
d(6x-3y)=6dx-3dy,\\
d(x+z)=dx+dy,
\end{eqnarray*}
y usando las propiedades del producto cuña del
Ejercicio 12.7, tenemos
\begin{eqnarray*}
d\omega &=& ( 2dx+dy )\wedge dx+(6dx-3dy)\wedge dy+(dx+dz)\wedge dz \\
&=& dy\wedge dx+ 6 dx\wedge dy +dx\wedge dz \\
&=& 5dx \wedge dy+dx\wedge dz
\end{eqnarray*}
Ejercicio
Para cada una de las 1-formas en \(\mathbb{R}^3\) calcula
su derivada exterior, escribiéndola en términos
de la base canónica \(\{ dx\wedge dy, dx\wedge dz, dy\wedge dz\}\) .
Considera la 2-forma constante en \(\mathbb{R}^3\):
\[
\eta=Adx\wedge dy+Bdy\wedge dz +C dz\wedge dx.
\]
Prueba que la 1-forma
\[
\omega = -Aydx-Bzdy-Cxdz,
\]
satisface
\(
d\omega=\eta.
\)
Ejercicio
Considera la 1-forma diferenciable en \(\mathbb{R}^2\)
\[
\omega = Pdx+Qdy
\]
Prueba que
\[
d\omega = (\partial_xQ -\partial_yP) dx\wedge dy.
\]
Nota que \(\partial_xQ -\partial_yP\) es el integrando que aparece en
el Teorema de Green.
Considera la 1-forma diferenciable en \(\mathbb{R}^3\)
\[
\omega = Adx+Bdy+Cdz
\]
Prueba que
\[
d\omega = (\partial_xB-\partial_yA)dx\wedge dy + (\partial_zA-\partial_xC)dz\wedge dx + (\partial_yC-\partial_zB)dy\wedge dz
\]
Nota que \(\textrm{Rot}(A,B,C)=(\partial_xB-\partial_yA,\partial_yC-\partial_zB,\partial_zA-\partial_xC)\).
Ejercicio
En \(\mathbb{R}^n\) considera la 1-forma \(dx_i\), \(i\in \{1,\dots,n\}\). Prueba que
\(d(dx_i)=0\).
Sea \(U\subseteq \mathbb{R}^n\) un abierto y \(f:U\to \mathbb{R}\) clase \(C^2\)
en \(U\). Prueba que \(d(df)=0\).
Definición
Sea \(S\subseteq \mathbb{R}^n\) una superficie suave parametrizada orientada
con parametrización \(\mathbb{r}:R\to S\) y \(\omega=\sum_{1\leq i < j \leq n} A_{i,j}dx_i \wedge dx_j\) una
2-forma continua en \(S\).
Definimos la
integral de \(\omega\) sobre \(S\) como
\[
\int_S \omega = \sum_{1\leq i < j \leq n} \int_{R} A_{i,j}(\mathbb{r}(u,v)) \frac{\partial(X_i,X_j)}{\partial(x_i,x_j)}(u,v)du\otimes dv
\]
donde \(\mathbb{r}(u,v)=(X_1(u,v),\dots, X_n(u,v))\) y
\[
\frac{\partial(X_i,X_j)}{\partial(x_i,x_j)}(u,v)=
\det\left[
\begin{array}{cc}
\partial_u X_i(u,v) & \partial_u X_j(u,v) \\
\partial_v X_i(u,v) & \partial_v X_j(u,v)
\end{array}
\right]
\]
Nota: cuando la superficie \(S\) está metida en \(\mathbb{R}^3\) la 2-forma se puede escribir como
\[
\omega= A dx\wedge dy +B dx\wedge dz + C dy\wedge dz
\]
por lo que podemos identificar \(\omega\) con el campo vectorial \(\mathbb{F}=(C,B,A)\)
(nota que en la coordenada \(x\) del campo va la función enfrente de \(dy \wedge dz\),
precisamente donde falta la \(x\) y así sucesivamente) y en
este caso tenemos que
\[
\int_S \omega = \int_S \mathbb{F}\cdot dS
\]
por lo que obtenemos una generalización de la integral de superficie.
Definición
Una superficie poligonal en \(\mathbb{R}^n\) es un subconjunto
de \(\mathbb{R}^n\) que se obtiene:
al sumar una cantidd finita
de triángulos dirigidos;
y con la condición de que las aristas de los
triángulos dirigidos NO pertenecen a más de dos
triángulo dirigidos en la suma.
Ejemplos: cubos, tetrahedros.
Es importante notar que una superficie poligonal
es la unión de objetos 2-dimensionales (caras),
objetos 1-dimensionales (aristas) y objetos 0-dimensionales
(vértices).
La unión de las aristas
que pertenecen a una sóla cara forma la frontera de
la superficie. Si la superficie
se denota por \(\mathbb{S}\) su frontera se denota por \(\partial \mathbb{S}\).
Una superficie poligonal se llama cerrada si su frontera es vacía.
Por ejemplo un cubo o un tetrahedro.
Dados cuatro puntos no co-planares, \(P,Q,R,S\), por
\(\mathbb{Te}(P,Q,R,S)\) denotamos al tetrahedro generado
por \(P,Q,R,S\), con la orientación inducida por
el triángulo orientado \(\triangle(P,Q,R)\).
El Ejercicio 13.15
da una idea para generalizar el Teorema de Stokes para formas diferenciables.
Copiando directamente el Ejercicio 13.15
podemos enunciar el Teorema de Stokes para formas como sigue.
Teorema de Stokes
\[
\int_{\mathcal{S}} d\omega = \int_{\partial \mathcal{S}} \omega
\]
donde \(\mathcal{S}\subseteq \mathbb{R}^3\) es una superficie
suave parametrizada, orientalbe, con frontera, \(\omega\) es una 1-forma clase \(C^1\)
definida en un abierto que contiene a \(\mathcal{S}\).
La idea de la demostración (que se puede formalizar) es la siguiente.
Sea \(\mathcal{S}\) una superficie suave parametrizada, orientable con frontera.
Una triangulación de
\(\mathcal{S}\) es una superficie poligonal \(\mathbb{S}\) de tal forma que todos
vértices de los triángulos dirigidos que conforman a \(\mathbb{S}\) caen en \(\mathcal{S}\).
Dada \(\omega\), una 2-forma continua definida en \(S\), podemos aproximar
a la superficie \(\mathcal{S}\) con superficies poligonales de la siguiente forma:
para toda \(\varepsilon >0\) existe \(\mathbb{S}\), una triangulación de \(\mathcal{S}\),
tal que
\[
\left| \int_{\mathbb{S}} d\omega -\int_{\mathcal{S}} d\omega \right| < \varepsilon
\]
y con un poco más de trabajo también se puede probar que también se aproximan las
fronteras:
\[
\left| \int_{\partial \mathbb{S}}\omega -\int_{\partial \mathcal{S}} \omega \right| < \varepsilon
\]
Ya que el Ejercicio 13.15 asegura
\(\int_{\partial \mathbb{S}} \omega = \int_{\mathbb{S}} d\omega \) podemos estimar
\begin{eqnarray*}
\left| \int_{\partial \mathcal{S}}\omega -\int_{\mathcal{S}} d\omega \right| &=&
\left| \int_{\partial \mathcal{S}}\omega
-\int_{\partial \mathbb{S}} \omega + \int_{\mathbb{S}} d\omega
-\int_{\mathcal{S}} d\omega \right| \\
&\leq &
\left| \int_{\partial \mathcal{S}}\omega
-\int_{\partial \mathbb{S}} \omega \right|
+ \left| \int_{\mathcal{S}}d\omega
-\int_{\mathbb{S}} d \omega \right|\\
& \leq & 2\varepsilon
\end{eqnarray*}
y ya que \(\varepsilon\) es arbitraria del principio y final de las desigualdades anteriores
concluimos
\[
\int_{\partial \mathcal{S}}\omega = \int_{\mathcal{S}} d \omega.
\]
El Teorema Fundamental del Cálculo
El segundo Teorema fundamental dice:
\[
\int_a^b f'(x)dx= f(b)-f(a)
\]
donde \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) es una función continua en
\([a,b]\) y diferenciable en \((a,b)\). Veamos el teorema
en términos de 1-formas.
De la Definición 10.22, la función \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\)
tiene derivada exterior \(df=f'dx\) (pensando a \(dx\) como la
1-forma canónica en \(\mathbb{R}\)) y ya habíamos notado que desde el punto
vista de 1-formas, \(\int_{[a,b]} f'dx\) es la integral usual de \(f'\).
Por lo tanto podemos escribir el lado izquierdo del Teorema Fundamental
como
\[
\int_{a}^b f'(x)dx = \int_{[a,b]}df.
\]
En cuanto al lado derecho no parece una integral pero el punto importante es
notar que depende de los puntos \(a\) y \(b\) que es precisamente la
frontera de \([a,b]\). Si por conveniencia pensamos a \(f\) como una
0-forma y la integral de \(f\) desde \(a\) a \(b\) como \(f(b)-f(a)\)
podemos escribir el lado derecho como
\[
f(b)-f(a)=\int_{\partial [a,b]} f.
\]
Así el Teorema Fundamental se puede reescribir como
\[
\int_{[a,b]}df= \int_{\partial [a,b]} f,
\]
pensando a \([a,b]\) como un objeto 1-dimensional en \(\mathbb{R}\).
Que la anterior formulación se asemeje al Ejercicio 13.15
o a la versión del Teorema de Stokes para formas diferenciables no es coincidencia. La
fórmula
\[
\int_{\mathcal{S}}d\omega = \int_{\partial \mathcal{S}}\omega
\]
es
el teorema fundamental de integrales de línea para objetos 1-dimensionales en \(\mathbb{R}^n\),
el teorema de Green para objetos 2-dimensionales en \(\mathbb{R}^2\),
el teorema de Stokes para objetos 2-dimensionales en \(\mathbb{R}^3\),
el teorema de Gauss para objetos 3-dimensionales en \(\mathbb{R}^3\).
