Dado un campo vectorial \(\mathbb{F}=(A,B,C):U\to \mathbb{R}^3\) diferenciable en \(U\) se define su divergencia, denotada \(\nabla \cdot \mathbb{F}\) ó \(div(\mathbb{F})\), como \[ \nabla \cdot \mathbb{F}=\partial_xA+\partial_yB+\partial_zC \] Nota: si pensamos (de manera informa) \(\nabla=(\partial_x, \partial_y, \partial_z)\) y \(\partial_xA\) como una "multiplicación" obtenemos que \(\partial_xA+\partial_yB+\partial_zC\) es el "producto punto" de \(\nabla\) con \(\mathbb{F}\), de ahí la notación.
Si interpretamos \(\mathbb{F}\) como el campo de valocidades de un líquido, la idea de la divergencia es que \(div(\mathbb{F})(p)\) mide la razón de cambio de la cantidad de líquido que pasa por \(p\) por unidad de volumen. Es decir \[ div(\mathbb{F})(p)\textrm{volumen}(V)\approx \int_{\mathcal{S}} \mathbb{F}\cdot d\mathcal{S}. \] donde \(V\) representa una región "pequeña" (por ejemplo una bola centrada en \(p\)) y \(\mathcal{S}\) es la frontera de \(V\).
La justificación de ésta interpretación se ve en Teorema 9.9
Sea \(\mathbb{F}:U\to \mathbb{R}^3\) un campo diferenciable en \(U\). Por \(D_p\mathbb{F}\) denotamos la matriz de derivadas parciales de \(\mathbb{F}\) en el punto \(p\).
Sea \(\mathcal{S}\subset \mathbb{R}^3\) una
Sea \(V\) la región encerrada por la superficie \(\mathcal{S}\).
Sea \(U\subseteq \mathbb{R}^3\) es un abierto que contiene a \(V\) y \(\mathbb{F}: U \to \mathbb{R}^3\) un campo clase \(C^1\).
Si \(\mathcal{S}\) tiene la orientación del vector normal apuntando hacia afuera entonces \[ \int_V (\nabla \cdot \mathbb{F})dx\otimes dy\otimes dz = \int_{\mathcal{S}} \mathbb{F}\cdot d\mathcal{S} \]
En términos de fronteras lo anterior lo podemos escribir como \(\partial V = \mathcal{S}\) y el resultado se puede reescribir como \[ \int_V (\nabla \cdot \mathbb{F})dx\otimes dy\otimes dz = \int_{\partial V } \mathbb{F}\cdot d\partial V \] lo cual muestra las similitudes con el Teorema de Green y el Teorema de Stokes.
Nota.
El teorema sigue siendo válido si suponemos que \(\mathcal{S}\) se una superficie suave a trozos, orientable, cerrada, simple (como por ejemplo un cubo).
Comprueba el Teorema de Gauss para los siguientes volúmenes y el campo \(\mathbb{F}(x,y,z)=Ax+By+Cz\), donde \(A,B,C\) son constantes.
Sea \(\mathcal{S}\) la frontera del cubo \([0,a]\times [0,a]\times [0,a]\) orientada con el vector normal que apunta hacia afuera. Para el campo \(\mathbb{F}(x,y,z)=(x^2,y^2,z^2)\) usa el Teorema de Gauss para calcular \(\int_{\mathcal{S}} \mathbb{F}\cdot d\mathcal{S}\).
La esfera \(x^2+y^2+z^2=R^2\) se intersecta con el plano \(z=R/2\). La parte mas pequeña forma un sólido \(V\) encerrado por una superficie denotada \(\mathcal{S}\) la cual está formada por dos partes, una parte de la esfera denotada \(\mathcal{S}_1\) y otra parte del plano, denotada \(\mathcal{S}_2\).
Considera el campo vectorial \(\mathbb{F}(x,y,z)=(xz,yz,1)\).
Calcula \(\int_{V}div(\mathbb{F}) dxdydz \).
Calcula \(\int_{\mathcal{S}} \mathbb{F}\cdot d\mathcal{S}\) donde \(\mathcal{S}\) es la esfera unitaria orientada con el vector que apunta hacia afuera y \(\mathbb{F}(x,y,z)=(2xy^2,2x^2y,z^3)\).
Usa el Teorema de Gauss para calcular \[ \int_{\mathcal{S}} (2x+2y+z^2)|d\mathcal{S}| \] donde \(\mathcal{S}\) es la esfera unitaria.
Sugerencia: usar Ejercicio 8.25
Sea \(\mathbb{F}:U\to \mathbb{R}^3\) un campo vectorial clase \(C^1\) en \(U\).
Sea \(p\in U\) fijo y arbitrario. Por \(V(t)\) denotamos la bola cerrada de radio \(t\) centrada en \(p\), por \(|V(t)|\) denotamos el volumen de \(V(t)\) y por \(S(t)\) denotamos su frontera.
Entonces \[ div(F)(a)=\lim_{t\to 0} \frac{1}{|V(t)|}\int_{S(t)} \mathbb{F}\cdot dS \]
Sea \(\mathcal{S}\) una superficie orientable cerrada simple, \(\mathbb{n}\) el vector normal a \(\mathcal{S}\) apuntando hacia afuera y \(V\) la región encerrada por \(\mathcal{S}\). Sea \(U\) un abierto que contiene a \(\mathcal{S}\). Dada una función escalar \(f:U\to\mathbb{R}\), clase \(C^1\), la derivada direccional de \(f\) en la dirección \(\mathbb{n}\) se define como \(\partial f/\partial \mathbb{n}=\nabla f \cdot \mathbb{n}\).
Prueba las siguientes indentidades. Pudes suponer la continuidad de todas las derivadas parciales que aparecen.
Sea \(S\) una superficie suave a trozos, orientable, cerrada, simple y sea \(V\) la región en \(\mathbb{R}^3\) tal que \(\partial V = S\).
Prueba que \[ \int_{S} \mathbb{I} \cdot dS = 3 \textrm{volumen}(V) \] con \(\mathbb{I}(x,y,z)=(x,y,z)\).
Como en el caso del Teorema de Green tenemos una generalización muy similar.
Supongamos que \(S\) es una superficie suave a trozos, orientable, cerrada simple y sea \(V\) la región que encierra . Supongamos que \(S_1,\dots, S_n\) son superficies suaves a trozos, orientables, cerradas y simples con \(S_i \subset V\), \(i=1,\dots, n\). Sean \(V_i\) las regiones encerradas por \(S_i\) y sea \(W\) la región de los puntos que estás en \(V\) pero no \(V_i\), es decir \(W=V\cap \cap_{i=1}^n V_i^c\).
Sea \(\mathbb{F}:U\to \mathbb{R}^3\) un campo clase \(C^1\) con \(W \subset U\).
Si las superficies están orientadas con el vector normal que apunta hacia afuera entonces \[ \int_{W}div(\mathbb{F})dx\otimes dy\otimes dz= \int_{S}\mathbb{F}\cdot dS-\sum_{i=1}^n \int_{S_i}\mathbb{F}\cdot dS_i \]
Sea \(S\) una superficie suave a trozos, orientable, cerrada, simple con \((0,0,0)\notin S\) y sea \(V\) la región encerrada por \(S\).
Denotamos \(\mathbb{I}(x,y,z)=(x,y,z)\). Entonces \begin{eqnarray*} \int_{S} \frac{1}{\|\mathbb{I}\|^3}\mathbb{I} \cdot dS = \left\{ \begin{array}{cc} 0 & (0,0,0)\notin V \\ 4\pi & (0,0,0)\in V \end{array} \right. \end{eqnarray*}