Sea \(\mathcal{R}=[a_1,b_1]\times \cdot \times [a_k,b_k]\) un rectángulo en
\(\mathbb{R}^k\). Una partición de \(\mathcal{R}\) es
el producto cartesiano de particiones de
sus lados. Es decir, si
\begin{eqnarray*}
\mathbb{P}_1&=&\{a_1=x_0^{(1)}< \cdots < x_{n_1}^{(1)}=b_1 \}, \\
\mathbb{P}_2&=&\{a_2=x_0^{(2)}< \cdots < x_{n_2}^{(2)}=b_2 \}, \\
&\vdots & \\
\mathbb{P}_k&=&\{a_k=x_0^{(k)}< \cdots < x_{n_k}^{(k)}=b_k \}.
\end{eqnarray*}
son particiones de \([a_i,b_i]\), \(i=1,\dots, k\), respectivamente,
entonces
\[
\mathbb{P}=\mathbb{P}_1\times \cdots \times \mathbb{P}_k=
\{ (x_{i_1}^{(1)}, \dots, x_{i_k}^{(k)}): 0 \leq i_l \leq n_l, l=1,\dots,k \}
\]
es una partición de \(\mathcal{R}\).
La partición
\(\mathbb{P}\) parte a \(\mathcal{R}\) en \(n_1n_2\cdots n_k\)
subrectángulos cerrados de dimensión \(k\), explícitamente se escriben de la forma
\[
[x_{i_1-1}^{(1)},x_{i_1}^{(1)}]\times \cdots \times [x_{i_{k}-1}^{(k)},x_{i_k}^{(k)}],
\]
con \(1\leq i_l \leq n_l\) para todo \(l=1,\dots,k\). Como toda
la información de los subrectángulos está en los índices
\(\{i_1,\dots,i_k\}\), vamos a denotar éstos subrectángulos como
\(R_{\underline{i}}\),
done \(\underline{i}=(i_1,\dots,i_k)\). Es decir,
\[
R_{\underline{i}}=[x_{i_1-1}^{(1)},x_{i_1}^{(1)}]\times \cdots \times [x_{i_{k}-1}^{(k)},x_{i_k}^{(k)}].
\]
El rectángulo abierto inducido por \(R_{\underline{i}}\) es
llamado un subrectángulo abierto de \(\mathcal{R}\).
Se dice que una partición \(\mathbb{P}'\) de \(\mathcal{R}\)
refina a \(\mathbb{P}\) si \(\mathbb{P}\subseteq \mathbb{P}'\).
Definición
En el caso 2-dimensional tenemos expresiones de la forma
\[
\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} m_{i,j}(f) (x_i-x_{i-1}) (y_j-y_{j-1}).
\]
Para el caso \(k\)-dimensional, la expresión análoga es
\[
\sum_{i_1=1}^{n_1} \cdots \sum_{i_k=1}^{n_k} m_{i_1,\dots,i_k}(f) (x_{i_1}-x_{i_1-1})\cdots (x_{i_k}-x_{i_k-1}).
\]
Para tratar de simplificar un poco la notación introducimos el siguiente símbolo:
si \(\mathbb{P}=\mathbb{P}_1\times \cdots \times \mathbb{P}_k\)
es una partición de \(\mathcal{R}\) denotamos
\[
I_{\mathbb{P}}=\{(i_1,\dots, i_k): 1\leq i_l \leq n_l, l=1,\dots, k\}
\]
el cual agrupa a todos los posibles indices que los subrectángulos de
\(\mathcal{R}\) inducidos por \(\mathbb{P}\).
Con ayuda de ésta notación, dada la partición \(\mathbb{P}\) y una
función acotada \(f:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\), podemos escribir
\begin{eqnarray*}
m_{\underline{i}}(f)&=&\inf\{f(p): p \in R_{\underline{i}}\}, \\
M_{\underline{i}}(f)&=&\sup\{f(p): p \in R_{\underline{i}}\}, \\
m(R_{\underline{i}}) &=& (x_{i_1}^{(1)} - x_{i_1-1}^{(1)})\cdots (x_{i_k}^{(k)}-x_{i_{k}-1}^{(k)}).
\end{eqnarray*}
Nota: en dimensión 2, \(m(R_{\underline{i}})\) representa el área del subrectángulo \(R_{\underline{i}}\),
mientras que en dimensión 3 representa el volumen del subrectángulo \(R_{\underline{i}}\).
Copiando el caso 2-dimensional, definimos la suma inferior y suma superior de \(f\) con respecto a \(\mathbb{P}\) como
\begin{eqnarray*}
\underline{S}(f,\mathbb{P}) &=& \sum_{\underline{i}\in I_{\mathbb{P}}} m_{\underline{i}}(f) m(R_{\underline{i}})\\
\overline{S}(f,\mathbb{P}) &=& \sum_{\underline{i}\in I_{\mathbb{P}}} M_{\underline{i}}(f) m(R_{\underline{i}})
\end{eqnarray*}
Si la función \(f\) es no negativa, entonces \(\underline{S}(f,\mathbb{P})\) y
\(\overline{S}(f,\mathbb{P})\) pueden interpretarse como el área de los subrectángulos
que se encuentran por debajo y por encima de la gráfica de \(f\), respectivamente.
Definición
Sea \(\mathcal{R}=[a_1,b_1]\times \cdots \times [a_k,b_k]\) un rectángulo en
\(\mathbb{R}^k\) y sea \(f:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\) una función acotada.
Definimos la integral inferior y superior de \(f\) como
\begin{eqnarray*}
\underline{\int_{\mathcal{R}}} f &=& \sup\{\underline{S}(f,\mathbb{P}): \mathbb{P} \text{ es una partición de } \mathcal{R}\},\\
\overline{\int_{\mathcal{R}}} f &=& \inf\{\overline{S}(f,\mathbb{P}): \mathbb{P} \text{ es una partición de } \mathcal{R}\}.
\end{eqnarray*}
Si
\(\underline{\int_{\mathcal{R}}} f =
\overline{\int_{\mathcal{R}}} f\), decimos que \(f\) es Riemann-integrable en
\(\mathcal{R}\) y definimos la integral de Riemann de \(f\) en
\(\mathcal{R}\) como
\[
\int_{\mathcal{R}} f =
\underline{\int_{\mathcal{R}}} f =
\overline{\int_{\mathcal{R}}} f.
\]
Otras notaciones para la integral de Riemann de \(f\) en \(\mathcal{R}\) son
\[
\int_{\mathcal{R}} f(x_1,x_2,\dots, x_k) dx, \quad \int_{\mathcal{R}} f(x) dm(x)
\]
Propiedades de la integral
Sea \(\mathcal{R}=[a_1,b_1]\times \cdots \times [a_k,b_k]\)
un rectángulo de \(\mathcal{R}^k\) y sean
\(f,g:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\) funciones acotadas y Riemann-integrables en \(\mathcal{R}\).
Al igual que en el caso 2-dimensional la integral en más dimensiones
satisface:
(linealidad) Para una constante \(\alpha\), \(\alpha f+g\) es Riemann integrable y
\[
\int_{\mathcal{R}} (\alpha f + g) = \alpha \int_{\mathcal{R}} f +\int_{\mathcal{R}}g
\]
(monotonía) Si \(f(x,y)\leq g(x,y)\) para todo \((x,y)\in \mathcal{R}\), entonces
\[
\int_{\mathcal{R}} f \leq \int_{\mathcal{R}} g.
\]
La función \(|f|\) es Riemann-integrable y
\[
\left| \int_{\mathcal{R}} f \right| \leq \int_{\mathcal{R}} |f|.
\]
La función producto \(fg\) es Riemann-integrable en \(\mathcal{R}\).
Si \(f\) es continua en \(\mathbb{R}\) entonces es Riemann-integrable.
Teorema
Condición de Cauchy
Sea \(\mathcal{R}=[a_1,b_1]\times \cdots \times [a_k,b_k]\) y \(f:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\)
una función acotada.
\(f\) es Riemann-integrable si y sólo si para toda \(\varepsilon >0\)
existe \(\mathbb{P}\) partición de \(\mathcal{R}\) tal que
\[
\overline{S}(f,\mathbb{P})-\underline{S}(f,\mathbb{P}) < \varepsilon.
\]
Definición
Un subconjunto \(A\subseteq \mathbb{R}^k\) es de contenido cero ó tiene
contenido cero en \(\mathbb{R}^k\) si para todo \(\varepsilon>0\)
existe una familia finita de rectángulos de dimensión \(k\), \(\{R_i\}_{i=1}^n\), tales que
\(A\subseteq \bigcup_{i=1}^n R_i\).
\(\sum_{i=1}^n m(R_i)<\varepsilon\).
Teorema
Sea \(A\subseteq \mathbb{R}^k\) un subconjunto acotado. Entonces
\(\chi_A\) es Riemann-integrable si y sólo si \(\partial A\) tiene contenido cero
en \(\mathbb{R}^k\).
Definición
Un subconjunto acotado \(A\subset \mathbb{R}^k\) se llama jordan medible
si \(\chi_A\) es Riemann-integrable.
Por el teorema anterior un subconjunto \(A\) es Jordan medible si y sólo si
\(\partial A\) tiene contenido cero en \(\mathbb{R}^k\).
Teorema
Sea \(\mathcal{R}\subset \mathbb{R}^k\)
rectángulo de dimensión \(k\) y sea
\(f:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\) una función acotada.
Si el conjunto
de discontinuidades de \(f\)
tiene contenido cero en \(\mathbb{R}^k\), entonces \(f\) es Riemann-integrable en \(\mathcal{R}\).
Teorema
Fubini
Sea \(\mathcal{R}=[a_1,b_1]\times \cdots \times [a_k,b_k] \subset \mathbb{R}^k\) y
\(f:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\) una función acotada y Riemann integrable sobre
\(\mathcal{R}\).
Antes de continuar introducimos un poco de notación. Dado un índice arbitrario
\(i_0\in \{1,\ldots,k\}\) por \(\hat{R}\) denotamos al rectángulo de dimensión \(k-1\)
que se obtiene al eliminar la coordenada \(i_0\) de \(\mathcal{R}\) y por
\(\hat{x}\) denotamos al vector de dimensión \(k-1\) que se obtiene al eliminar la coordenada \(i_0\)
de \(x\in \mathcal{R}\).
Para casi toda \(y\in [a_{i_0},b_{i_0}]\), la integral \(k-1\)-dimensional
\[
\int_{\hat{R}}f(x_1,\dots, x_{i_0-1},y,x_{i_0+1},\dots, x_k)d\hat{x}
\] existe.
Denotemos esta integral
por \(A(y)\).
La integral \(\int_{a_{i_0}}^{b_{i_0}} A(y)dy\) existe y
\[
\int_\mathcal{R}f = \int_{a_{i_0}}^{b_{i_0}} A(y)dy.
\]
Abusando un poco la notación, lo anterior se puede escribir como la integral iterada
\[
\int_\mathcal{R}f = \int_{a_{i_0}}^{b_{i_0}} \left( \int_{\hat{R}}f_y(\hat{x})d\hat{x}\right) dy.
\]
Nota: la expresión \(f_y(\hat{x})\) debe entenderse como
\[
f_y(\hat{x})=f(x_1,\dots, x_{i_0-1},y,x_{i_0+1},\dots, x_k).
\]
Nota: la expresión "para casi toda \(y\in [a_{i_0},b_{i_0}]\)" significa que
existe \(N\subset [a_{i_0},b_{i_0}]\) de contenido cero tal que para todo \(y\in [a_{i_0},b_{i_0}]\setminus N\), la integral
\(\int_{\hat{R}}f_y(\hat{x})d\hat{x}\) existe.
Corolario
Sea \(\mathcal{R}=[a_1,b_1]\times \cdots \times [a_n,b_n]\) un rectángulo en \(\mathbb{R}^k\) y
\(f:\mathcal{R} \to \mathbb{R}\) una función acotada y Riemann-integrable.
Entonces para cualquier, \(i_1,\dots,i_n\), reordenamiento de \(\{1,\dots, n\}\),
se cumple que:
\[
\int_{\mathcal{R}}f=\int_{a_{i_1}}^{b_{i_1}} \cdots \int_{a_{i_n}}^{b_{i_n}} f(x_{1},\dots, x_{n})dx_{i_n}\cdots dx_{i_1}.
\]
Vamos a proceder por inducción sobre \(k\). Notamos que en el
caso \(k=1\) realmente no hay nada que demostrar. El caso \(k=2\)
es el Teorema de Fubini de la sección 2 (Teorema 1.1)
Así pues supongamos que el resultado es cierto para \(k\) y probemos para
\(k+1\). Sea \(\mathcal{R}=[a_1,b_1]\times \cdots \times [a_{k+1},b_{k+1}]\)
un rectángulo en \(\mathbb{R}^{k+1}\) y sea \(f:\mathcal{R}\to \mathbb{R}\)
una función acotada y Riemann-integrable.
Al ser \(f\) Riemann-integrable en \(\mathcal{R}\) por el
Teorema de Fubini
en más dimensiones tenemos que existe \(N\subset [a_{i_1},b_{i_1}]\) de contenido cero tal que para todo
\(x_{i_1}\in [a_{i_1},b_{i_1}]\setminus N\), la integral
\[
\int_{\hat{R}}f_{x_{i_1}}(\hat{x})d\hat{x}
\]
existe, es decir, \(f_{x_{i_1}}\) es Riemann-integrable en \(\hat{R}\). Además
\[
\int_{\mathcal{R}}f =\int_{a_{i_1}}^{b_{i_1}} \left( \int_{\hat{R}} f_{x_{i_1}}(\hat{x})d\hat{x}\right) dx_{i_1}
\]
Recuerda que \(\hat{R}\) es el rectángulo de dimensión \(k\) que se obtiene al eliminar la coordenada \(i_1\) de \(\mathcal{R}\).
Como sabemos que para todo \(x_{i_1}\in [a_{i_1},b_{i_1}]\setminus N\), la función
\(f_{x_{i_1}}\) es Riemann-integrable en \(\hat{R}\). Aplicando la hipótesis de inducción
a \(f_{x_{i_1}}\) en \(\hat{R}\) tenemos que para cualquier reordenamiento
\(i_2,\dots,i_{k+1}\) se cumple que:
\[
\int_{\hat{R}} f_{x_{i_1}}(\hat{x})d\hat{x} = \int_{a_{i_2}}^{b_{i_2}}\cdots \int_{a_{i_{k+1}}}^{b_{i_{k+1}}} f_{x_{i_1}}(x_1,\dots,x_{i_1-1},x_{i_1+1},\dots,x_{k+1}) dx_{i_{k+1}}\cdots dx_{i_2}
\]
Lo anterior lo podemos escribir como
\[
\int_{\hat{R}} f_{x_{i_1}}(\hat{x})d\hat{x} = \int_{a_{i_2}}^{b_{i_2}}\cdots \int_{a_{i_{k+1}}}^{b_{i_{k+1}}} f(x_1,\dots, x_{k+1}) dx_{i_{k+1}}\cdots dx_{i_2}
\]
integrando ésta última expresión con respecto a \(x_{i_1}\) obtenemos que
\[
\int_{\mathcal{R}}f =\int_{a_{i_1}}^{b_{i_1}} \int_{a_{i_2}}^{b_{i_2}}\cdots \int_{a_{i_{k+1}}}^{b_{i_{k+1}}} f(x_1,\dots, x_{k+1}) dx_{i_{k+1}}\cdots dx_{i_2} dx_{i_1}
\]
Definición
Sea \(\mathcal{S}\subset \mathbb{R}^k\) un subconjunto acotado y \(f:\mathcal{S}\to \mathbb{R}\)
una función acotada. Decimos que \(f\) es Riemann-integrable en \(\mathcal{S}\) si existe un
rectángulo, de dimensión \(k\), \(\mathcal{R}\subset \mathbb{R}^k\) tal que la función
\[
\tilde{f}(p)=\left\{
\begin{array}{cc}
f(p) & p\in \mathcal{S} \\
0. & p\in \mathcal{R}\setminus \mathcal{S}
\end{array}
\right.
\]
es Riemann-integrable en \(\mathcal{R}\).
Definición
Una región de tipo \(I\) en \(\mathbb{R}^3\) es un subconjunto acotado
\(\mathcal{S}\) que se puede describir como
\[
\mathcal{S }=\{(x,y,z): (x,y)\in \mathcal{D}, g_1(x,y) \leq z \leq g_2(x,y)\}
\]
donde:
\(\mathcal{D}\) es la proyección de \(\mathcal{S}\) en el plano \(xy\),
la cual debe ser Jordan medible.
Las funciones \(g_1,g_2:\mathcal{D}\to \mathbb{R}\) son continuas.
En otras palabras, \(\mathcal{S}\) es la región entre las gráficas
de \(g_1\) y \(g_2\).
De manera similar, las regiones de tipo II y III se pueden describir, respectivamente, como
\[
\mathcal{S}=\{(x,y,z): (y,z)\in \mathcal{D}, g_1(y,z)\leq x \leq g_2(y,z) \}
\]
donde \(\mathcal{D}\) es la proyección en el plano \(yz\),
\[
\mathcal{S}=\{(x,y,z): (x,z)\in \mathcal{D}, g_1(x,z)\leq y \leq g_2(x,z) \}
\]
donde \(\mathcal{D}\) es la proyección en el plano \(xz\).
Teorema
Sea \(\mathcal{S}\) una región de tipo I, digamos que
es la región entre las gráficas de las funciones
\(g_1,g_2:\mathcal{D}\to \mathbb{R}\). Sea \(f:\mathcal{S}\to \mathbb{R}\)
una función continua en \(\mathcal{S}\), entonces \(f\) es Riemann-integrable en \(\mathcal{S}\) y
\[
\int_{\mathcal{S}}f= \int_{\mathcal{D}}\left( \int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)}f(x,y,z)dz\right)d(x,y)
\]
Al ser \(\mathcal{S}\) acotado existe \(\mathcal{R}=[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times [a_3,b_3]\subset \mathbb{R}^3\)
tal que \(\mathcal{S}\subseteq \mathcal{R}\). Ahora si definimos
\[
\tilde{f}(x,y,z)=\left\{
\begin{array}{cc}
f(x,y,z) & (x,y,z)\in \mathcal{S} \\
0. & (x,y,z)\in \mathcal{R}\setminus \mathcal{S}
\end{array}
\right.
\]
Para probar que \(\tilde{f}\)
es Riemann-integrable resta probar que el conjunto de
puntos de discontinuidad de \(\tilde{f}\) tiene contenido cero. Como
\(f\) es continua en \(\mathcal{S}\), el conjunto de puntos de continuidad
de \(\tilde{f}\) está contenida en la frontera de \(\mathcal{S}\).
Ahora, la frontera de \(\mathcal{S}\) es unión de gráficas
de funciones continuas. Como las gráficas de funciones continuas tienen
contenido cero y la unión finita de conjuntos de contenido cero vuelve a tener
contenido cero, resulta que la frontera de \(S\) tiene contenido cero. Por lo
tanto \(\tilde{f}\) es integrable y entonces \(f\) es Riemann-integrable en \(\mathcal{S}\).
Ahora, por el Teorema de Fubini
\begin{eqnarray*}
\int_{\mathcal{S}}f&=&\int_{\mathcal{R}}\tilde{f} \\
&=&\int_{a_1}^{b_1}\int_{a_2}^{b_2}\int_{a_3}^{b_3} \tilde{f}(x,y,z) dz dy dx \\
&=& \int_{a_1}^{b_1}\int_{a_2}^{b_2}\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \tilde{f}(x,y,z) dz dy dx\\
\end{eqnarray*}
Ahora notamos que si \((x,y)\notin \mathcal{D}\) entonces
\(\tilde{f}(x,y,z)=0\), sin importar la coordenada \(z\), por lo que podemos simplificar
\begin{eqnarray*}
\int_{a_1}^{b_1}\int_{a_2}^{b_2}\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \tilde{f}(x,y,z) dz dy dx
&=& \int_{\mathcal{D}} \int_{g_1(x)}^{g_2(x)}\tilde{f}(x,y,z) dzd(x,y) \\
&=& \int_{\mathcal{D}} \int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y,z) dzd(x,y) .
\end{eqnarray*}
Concluimos que:
\[
\int_{\mathcal{S}}f = \int_{\mathcal{D}} \int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y,z) dzd(x,y).
\]
Nota
Si en el teorema anterior en la región \(\mathcal{S}\),
\[
\mathcal{S}=\{(x,y,z): (x,y)\in \mathcal{D}, g_1(x,y) \leq z \leq g_2(x,y)\}
\]
cumple que a su vez \(\mathcal{D}\) es una región de tipo I,
digamos que es la región entre las gráficas de \(h_1,h_2\)
\[
\mathcal{D}=\{ (x,y): a\leq x \leq b, h_1(x)\leq y \leq h_2(x) \}
\]
la integral se puede calcular como
\[
\int_{\mathcal{S}}f= \int_{a}^{b}\int_{h_1(x)}^{h_2(x)}\int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)}f(x,y,z)dzdydx
\]
De manera similar, si \(\mathcal{D}\) es una región de tipo II,
\[
\mathcal{D}=\{ (x,y): c\leq y \leq d, h_1(y)\leq x \leq h_2(y) \}
\]
la integral se puede calcular como
\[
\int_{\mathcal{S}}f= \int_{c}^{d}\int_{h_1(y)}^{h_2(y)}\int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)}f(x,y,z)dzdxdy
\]
Nota que cambio en el orden de integración entre las dos últimas fórmulas.
Todas las posibles combinaciones de \(\mathcal{S}\) región de tipo I,II,III se pueden tener
con su proyección, \(\mathcal{D}\) siendo proyección de tipo I o II.
Ejemplo
Calcula la integral \(\int_{\mathcal{S}} xy d(x,y,z)\),
donde \(\mathcal{S}\) es tetraedro acotado por los planos \(x=0, y=0, z=0\) y \(x+y+z=1\).
Definición
Sea \(U\subset \mathbb{R}^n\) un abierto y
\(T:U\to \mathbb{R}^n\) una función diferenciable en todo punto de \(U\).
El Jacobiano de \(T\), en el punto \(p\), es el determinante de la matriz
de derivadas parciales de \(T\) en \(p\).
Por ejemplo si \(T\) es una función de dos variables
\[
T(x,y)=(u(x,y),v(x,y))
\]
el Jacobiano es
\[
J_T=\det
\left[
\begin{array}{cc}
\partial_xu & \partial_yu \\
\partial_xv & \partial_yv
\end{array}
\right]
\]
Haciendo énfasis en las funciones coordenadas
\(u,v\) y las variables \(x,y\), otra notación para el Jacobiano es \(\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\)
Nota que el Jacobiano es una función. Por ejemplo si \(u(x,y)=x^2-y^2, v(x,y)=xy-x^2\) entonces
\[
J_T(x,y)=
\det
\left[
\begin{array}{cc}
2x & -2y \\
y-2x & x
\end{array}
\right]=2x^2-(-2y)(y-2x)=2x^2+2y^2-4xy
\]
Teorema
Sea \(U\subseteq \mathbb{R}^n\) un conjunto abierto y
\(T:U\to \mathbb{R}^n\) una función clase \(C^1\) con la
característica de que el Jacobiano \(J_T\) no se anula en \(U\). Si
\(\mathcal{D}\subseteq U\) es un conjunto abierto con interior no vacío
y \(f\) es una función continua definida en \(T(\mathcal{D})\) entonces
\[
\int_{T(\mathcal{D})} f = \int_{\mathcal{D}} (f\circ T )|J_T|
\]
Corolario
Coordenadas cilíndricas
Para coordenadas cilíndricas \(T:(0,\infty)\times (0,2\pi)\times (-\infty,\infty) \to \mathbb{R}^3\),
\[
T(r,\theta,z)=(r\cos(\theta),r\sen(\theta),z)
\]
se tiene que
\[
\int_{T(\mathcal{S})}f=\int_{\alpha}^{\beta}\int_{h_1(\theta)}^{h_2(\theta)}\int_{u_1(r,\theta)}^{u_2(r,\theta)}f(r\cos(\theta),r\sen(\theta))rdzdrd\theta
\]
donde \(\mathcal{S}=\{(r,\theta,z): \alpha \leq \theta \leq \beta, h_1(\theta)\leq r \leq h_2(\theta), u_1(r,\theta)\leq z \leq u_2(r,\theta)\}\).
Coordenadas esféricas
Para coordenadas cilíndricas \(T:(0,\infty)\times (0,2\pi)\times (0,\pi) \to \mathbb{R}\)
\[
T(\rho, \theta, \phi)=(\rho\sen(\phi)\cos(\theta),\rho\sen(\phi)\sen(\theta), \rho\cos(\phi))
\]
se tiene que
\[
\int_{T(\mathcal{S})}f=\int_{\alpha}^{\beta}\int_{h_1(\theta)}^{h_2(\theta)}\int_{u_1(r,\theta)}^{u_2(r,\theta)}f(\rho\cos(\theta),\rho\sen(\theta))\rho^2\sen(\phi) d\phi d\rho d\theta
\]
donde \(\mathcal{S}=\{(\rho,\theta,\phi): \alpha \leq \theta \leq \beta, h_1(\theta)\leq \rho \leq h_2(\theta), u_1(\rho,\theta)\leq \phi \leq u_2(\rho,\theta)\}\).
Nota
Cambio de coordenadas afines
Para triángulos, tetrahedros, paralelepipedos y en general polígonos los cambios de coordenadas afines son muy útlies.
Por ejemplo para calcular la integral \(\int_{\mathcal{D}} x^2+y\) donde \(\mathcal{D}\)
es el triángulo con vértices
\[
(1,1), (4,2), (6,4)
\]
un método es tratar de ver \(\mathcal{D}\) como unión de regiones tipo I ó II. Pero otro método es
usar un cambio de coordenadas afin, es decir encontrar una transoformación afín tal que \(T(\mathcal{R})=\mathcal{D}\),
donde \(\mathcal{R}\) es el triángulo canónico \((0,0), (1,0), (0,1)\).
Paso 1: Mover el triángulo al origen.
Fijamos un vértice (cualquier vértice), \(p=(1,1)\) y
trasladamos el triángulo para que tenga un vértice en el origen:
\begin{eqnarray*}
p_0&=&(1,1)-p=(0,0),\\
p_1&=&(4,2)-p=(3,1),\\
p_2&=&(6,4)-p=(5,3).
\end{eqnarray*}
Paso 2: La matriz.
Encontrar una transformación lineal que mande los vectores canónicos a los
lados del triángulo. Es decir encontrar una matriz \(A\) que cumpla:
\begin{eqnarray*}
Ae_1=p_1\\
Ae_2=p_2.
\end{eqnarray*}
Esto se logra poniendo los vectores \(p_1,p_2\) como columnas de \(A\), es decir
\[
A=\left[
\begin{array}{cc}
3 & 5 \\
1 & 3
\end{array}
\right]
\]
Paso 3: La transformación afin.
Fimalmente la transformación que manda el triángulo canónico a triángulo con vértices
\((1,1), (4,2), (6,4)\) es
\[
T(u,v)=A(u,v)+p=(3u+5v+1,u+3v+1)
\]
Finalmente la integral es
\begin{eqnarray*}
\int_{\mathcal{D}} x^2+y &=& \int_{T(\mathcal{R})} f(x,y) \\
&=& \int_{\mathcal{R}} f(T(u,v))|J_T| \\
&=& \int_{\mathcal{R}} [(3u+5v+1)^2+(u+3v+1)]\det(A) \\
&=& (9-5)\int_{0}^1\int_{0}^{1-u} (3u+5v+1)^2+(u+3v+1) dv du\\
&=&4\frac{101}{12}=\frac{101}{3}
\end{eqnarray*}
Calcular la integral \(\int_{\mathcal{D}} x-y+2z\) donde \(\mathcal{D}\) es el
tetrahedro con vértices \((1,2,3), (1,6,3), (2,3,5),(1,4,7) \).
Primero encontramos una transformación afin que manda el tetrahedro canónico
(es decir, con vértices \((0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\)) al
tetrahedro \(\mathcal{D}\).
Paso 1: Mover tetrahedro al origen.
Fijamos un vértice \(p=(1,2,3)\) (puede ser cualquier vértice) y se traslada el tetrahedro
para que tenga un vértice en el origen:
\begin{eqnarray*}
p_0&=&(1,2,3)-p=(0,0,0),\\
p_1&=&(1,6,3)-p=(0,4,0),\\
p_2&=&(2,3,5)-p=(1,1,2),\\
p_3&=&(1,4,7)-p=(0,2,4).
\end{eqnarray*}
Paso 2: La matriz.
Encontrar una transformación lineal que mande los vectores canónicos a los lados del
tetrahedro. Es decir una matriz \(A\) tal que
\begin{eqnarray*}
Ae_1=p_1,\\
Ae_2=p_2,\\
Ae_3=p_3.
\end{eqnarray*}
lo anterior se logra colocando los vectores \(p_1,p_2,p_3\) como columnas de \(A\), es decir
\begin{eqnarray*}
A=\left[
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
4 & 1 & 2 \\
0 & 2 & 4
\end{array}
\right]
\end{eqnarray*}
Paso 3: La transformación afin.
La transformación afin que mando el tetrahedro canónico a \(\mathcal{D}\) es
\[
T(u,v,w)=A(u,v,w)+p=(v+1,4u+v+2w+2,2v+4w+3)
\]
Finalmente la integral es
\begin{eqnarray*}
\int_{\mathcal{D}} x-y+2z &=&\int_{T(\mathcal{R})} f(x,y,z) \\
&=& \int_{\mathcal{R}} f(T(u,v,w))|J_T| \\
&=& \int_{\mathcal{R}} [(v+1)-(4u+v+2w+2)+2(2v+4w+3)]\det(A) \\
&=& (-16)\int_{0}^1 \int_{0}^{1-u}\int_{0}^{1-u-v} (-4u+4v+6w+5) dwdvdu \\
&=& (-16)\frac{3}{8}=-6
\end{eqnarray*}
Para paralelepipedos y poligonos más generales la táctica es
"triangularlos", después separa la integral usando la
Linealidad con respecto a regiones
y finalmente calcular la integral sobre cada una de las triangulaciones, como se
hizo en los casos anteriores.
Ejercicio
Calcula las siguientes integrales.
\(\int_{\mathcal{D}} 3x+y\), donde \(\mathcal{D}\) es el paralelogramo
con vértices \((1,1),(1,3),(5,2),(6,7)\).
\(\int_{\mathcal{D}} 5x-2y+3z\), donde \(\mathcal{D}\) es el paralepipedo
con vértices
\begin{eqnarray*}
(0,0,0),(3,1,0),(2,4,0),(5,6,0),\\
(1,0,6),(0,2,6),(3,1,6),(1,4,6).
\end{eqnarray*}
Ejercicio
Calcula las siguientes integrales.
\(\int_{\mathcal{D}} 2x-6y\), donde \(\mathcal{D}\) es el triángulo con vértices
\((1,1), (5,2), (3,6)\).
\(\int_{\mathcal{D}} x+y+z\), donde \(\mathcal{D}\) es el tetrahedro con vértices
\((0,0,0), (2,0,0), (0,4,0), (1,1,6)\).
Ejercicio
Calcula las siguientes integrales.
\(\int_{\mathcal{D}} xyz \) donde \(\mathcal{D}\) es el cubo vértices
\begin{eqnarray*}
(a,a,a),(a,-a,a),(-a,a,a),(-a,-a,a),\\
(a,a,-a),(a,-a,-a),(-a,a,-a),(-a,-a,-a),
\end{eqnarray*}
donde \(a>0\).
\(\int_{\mathcal{D}} x+y+z\) donde \(\mathcal{D}\) es el tetrahedro
con vértices \[(0,0,0), (a,0,0), (0,a,0), (0,0,b)\]
donde \(a,b>0\) son constantes.
\(\int_{\mathcal{D}} x \) donde \(\mathcal{D}\) es la
región encerrada por el paraboloide \(x=4y^2+2z^2\) y el plano
\(x=2\).
\(\int_\mathcal{D} xy+x\) donde \(\mathcal{D}\) es la región
delimitada por los paraboloides
\(y=x^2+y^2\), \(y=27-2x^2-2y^2\).
Ejercicio
Calcula las siguientes integrales.
\(\int_{\mathcal{D}} x^2+y^2+z^2 \) donde \(\mathcal{D}\) es el
tetrahedro con vértices
\[(0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\]
\(\int_{\mathcal{D}} xy\) donde \(\mathcal{D}\) es la región del primer octante
debajo del plano \(z=x+y+2\).
\(\int_{\mathcal{D}} 2x-3y+z\) donde \(\mathcal{D}\) es
la región delimitada por el cilindro \(z^2+y^2=4\), los planos \(x=1\),
\(y=2x\), \(z=0\) en el primer cuadrante.
\(\int_{\mathcal{D}} x \) donde \(\mathcal{D}\) es la
región encerrada por el paraboloide \(x=2y^2+2z^2\) y el plano
\(x=6\).
Ejercicio
Reescribe la integral iterada en las otras 5 formas equivalentes (\(f\) denota
una función continua sobre el dominio adecuado).
\(\int_{0}^1\int_y^1\int_0^y f(x,y,z)dzdxdy\)
\(\int_0^1\int_y^1\int_0^z f(x,y,z)dxdzdy\)
Ejercicio
Reescribe la integral iterada en las otras 5 formas equivalentes (\(f\) denota
una función continua sobre el dominio adecuado).
Cambio de coordenadas afin.
\[
T(x_1,\dots, x_n)=A(x_1,\dots, x_n)+p
\]
donde \(A\) es una matriz de \(n\times n\) y \(p\in \mathbb{R}^n\) es un vector fijo. Entonces
\[
J_T=\det(A)
\]
Ejercicio
Calcula las siguientes integrales.
\(\int_{\mathcal{D}}\sqrt{2x^2+2y^2}\), donde \(\mathcal{D}\) es la
región dentro del cilindro \(x^2+y^2=25\) y entre los planos \(z=-1, z=9\).
\(\int_{\mathcal{D}} 2z+y^2\), donde \(\mathcal{D}\) es la región delimitada por el
paraboloide \(z=3x^2+3y^2\) y el plano \(z=9\).
\(\int_{\mathcal{D}} x+2y+z\), donde \(\mathcal{D}\) es la región en el primer octanten
bajo el paraboloide \(z=9-x^2-y^2\).
\(\int_{\mathcal{D}} x^2+y^4\), donde \(\mathcal{D}\) es la región dentro del
cilindro \(x^2+y^2=4\), arriba del plano \(z=0\) y por debajo del cono
\(z^2=9x^2+9y^2\).
Ejercicio
Calcula las siguientes integrales.
\(\int_\mathcal{D} 5-x^2-y^2\), donde \(\mathcal{D}\) es el hemisferio \(x^2+y^2+z^2 \leq 1\), \(z\geq 0\).
\(\int_{\mathcal{D}} x+y+z \), donde \(\mathcal{D}\) es la región entre las esferas
\(x^2+y^2+z^2=1\) y \(x^2+y^2+z^2=9\)
\(\int_{\mathcal{D}} xyz\), donde \(\mathcal{D}\) es la región entre las esferas
\(x^2+y^2+z^2=4, x^2+y^2+z^2=16\) y arriba del cono \(\phi=\pi/6\).
\(\int_{\mathcal{D}} ye^{x^2+y^2+z^2}\), donde \(\mathcal{D}\) es la parte de la bola centrada en el origen
de radio \(a>0\) en el primer octante.
Ejercicio
Sea \(f:[0,1]\to \mathbb{R}\) una función continua y sea
\(\mathcal{D}\) el triángulo canónico. Prueba que
\[
\int_{\mathcal{D}} f(x+y)= \int_0^1 tf(t)dt
\]
