La integral de línea trata integra campos vectoriales sobre curvas orientadas. La idea
es que la integral promedia la acción del campo vectorial sobre la curva.
La integral de línea puede ser positiva, si la curva se mueve en la misma dirección general
que el campo, negativa si se mueve en dirección contraria o cero, si se mueve perpendicularmente.
Ya que el producto punto mide la dirección entre dos vectores la integral
de línea se define
\[
\int_a^b \mathbb{F}(\alpha(t))\cdot \alpha'(t)dt
\]
donde \(\alpha\) es la curva y \(\mathbb{F}\) el campo.
La definición anterior tiene la ventaja de que es compatible con la nocaicón de trabajo. Si una
fuerza constante \(\mathbb{F}\) mueve un objeto una distancia \(d\) el trabajo es
\(\mathbb{F} d\). Si el objeto se mueve a lo largo de una curva y la fuerza no es constante
podemos dividir la trayectoria en pequeños trozos y en cada trozo el trabajo es
\[
W_i\approx \mathbb{F}(\alpha(t_i^*))\cdot (\alpha(t_i)-\alpha(t_{i-1}))
\]
donde \(t_i^*\in [t_{i-1},t_i]\) es un punto que aproxima la fuerza en dicho segmento.
Usando el Teorema del valor medio para curvas podemos estimar
\[
W_i\approx \mathbb{F}(\alpha(t_i^*))\cdot \alpha'(c_i)(t_i-t_{i-1})
\]
al sumar y tomar límite podemos definir el trabajo realizado por \(\mathbb{F}\) al mover una partícula
a lo largo de
\(\alpha\) como
\[
W=\lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^n \mathbb{F}(\alpha(t_i^*))\cdot \alpha'(c_i)(t_i-t_{i-1})=\int_a^b \mathbb{F}(\alpha(t))\cdot \alpha'(t)dt
\]
Ejercicio
Un campo de fuerza en el plano está dado por \(\mathbb{F}(x,y)=(x^2-y^2,xy)\).
Fija dos números positivos \(a,b\) y por \(\alpha\) denota la trayectoria
formada por el rectángulo con vértices \((0,0),(a,0),(a,b),(0,b)\),
recorrida en ese orden, una sóla vez.
Encuentra el trabajo realizado por \(\mathbb{F}\) al mover
una partícula a lo largo de la trayectoria \(\alpha\).
Si ponemos la condición de que \(a+b=1\), encuentra las
\(a\) y \(b\) que dan la trayectoria con el trabajo máximo
y mínimo.
Una partícula se mueve sobre el paraboloide \(z=1-x^2-2y^2\) bajo la acción
del campo \(\mathbb{F}(x,y,z)=(\sqrt{2}y,3\sqrt{2}x,1/2)\). Si además
nos restringimos que se mueva del plano \(z=0\) a \(z=1\) sobre planos de la forma
\(y=mx\), encuantra la trayectoria para la cual el trabajo es máximo.
Definición
Sean \(\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}^n, \beta:[c,d]\to \mathbb{R}^n\) dos curvas suaves equivalentes y
supongamos que \(u:[a,b]\to [c,d]\) implementa la equivalencia. Se dice que tienen:
la misma orientación si \(u'>0\) en \((a,b)\),
orientaciones opuestas si \(u' < 0 \) en \((a,b)\).
Dada una curva suave \(\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}^n\) podemos darle dos orientaciones:
positiva es cuando \(\alpha(a)\) es el punto inicial y \(\alpha(b)\) el punto final
y negativa, cuando \(\alpha(b)\) es el punto inicial y \(\alpha(a)\) el punto final.
Ejercicio
Considera \(\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}^n\) una trayectoria continua y define
\[
\beta:[-b,-a] \to \mathbb{R}^n, \beta(s)=\alpha(-s)
\]
\[
\gamma:[a,b] \to \mathbb{R}^n, \gamma(s)=\alpha(b+a-s)
\]
Demuestra que \(\beta\) y \(\gamma\) son equivalentes
a \(\alpha\) y que ambas invierten la orientación orignal de \(\alpha\).
Ejercicio
Considera \(\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}^n\) una trayectoria continua.
Sea \([c,d]\) un intervalo arbitrario. Encuentra una trayectoria
continua \(\beta\) con dominio \([c,d]\) tal que:
sea equivalente a \(\alpha\)
y que tenga la misma orientación.
sea equivalente a \(\alpha\)
y que invierta su orientación.
Definición
Sea \(U \subseteq \mathbb{R}^n\) y
\(\mathbb{F}:U\to \mathbb{R}^n \) un campo vectorial continuo, con funciones
coordenadas \(\mathbb{F}=(F_1,\dots, F_n)\).
Supongamos que tenemos \(\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}^n\) es una curva orientada suave
cuya traza está contenida en \(U\).
Definimos la integral de \(\mathbb{F}\) a lo largo de \(\alpha\) como
\[
\int_a^b \mathbb{F}(\alpha(t))\cdot \alpha'(t)dt
\]
Ya que la integral de línea involucra un producto punto se usa la notación
\[
\int_{\alpha}\mathbb{F}\cdot d\alpha : =\int_{a}^b \mathbb{F}(\alpha(t))\cdot \alpha'(t)dt
\]
La definición anterior se puede extender para curvas suaves a trozos.
Si
\(\beta:[a,b] \to \mathbb{R}\) es una trayectoria parametrizada
suave a trozos y
\( \{a=t_0< \cdots < t_n=b \}\) es una partición de \([a,b]\)
tal que \(\beta\) restringida a \([t_{j-1}, t_{j}]\) es suave, definimos
\[
\int_\beta \mathbb{F}d\beta = \sum_{j=1}^n \int_{\beta_j} \mathbb{F}d\beta_j
\]
donde \(\beta_j\) es simplemente la restricción de \(\beta\)
al intervalo \([t_{j-1},t_j]\).
Usando la propiedad de la integral que dice
\[
\int_a^b f(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx
\]
donde \(f\) es una función integrable en \([a,b]\)
y \(c\in [a,b]\) es un punto cualquiera, se obtiene que
ésta definición no depende de la partición de \([a,b]\) que se tome.
Notación
Si escribimos las funciones coordenadas de \(\mathbb{F}=(F_1,\dots, F_n)\) y las
de \(\alpha(t)=(a_1(t),\dots, a_n(t))\) la
integral de línea se calcua como
\[
\int_a^b \mathbb{F}(\alpha(t))\cdot \alpha'(t)dt = \sum_{i=1}^n \int_{a}^b F_i(\alpha(t))a_i'(t)dt
\]
También se usa la notación
\[
\int_\alpha F_1dx_1+\cdots F_ndx_n
\]
pues cada sumando \(F_idx_i\) se entiende como \(F(a_i(t))a_i'(t)\), en la expresión de arriba.
Así por ejemplo la integrales
\[
\int_{\alpha} xdx-2ydy, \, \int_\alpha -2ydx+xdy
\]
son las integrales sobre \(\alpha\) de los campos \(\mathbf{F}(x,y)=(x,-2y)\),
\(\mathbf{G}(x,y)=(-2y,x)\), respectivamente.
Lema
Este ejercicio prueba que la integral de línea no depende de
la parametrización de la curva y que el signo depende de la
orientación.
Sea \(\mathbb{A}\) un campo diferenciable en el abierto
\(U\) y supon que \( \alpha:[a,b]\to \mathbb{R}^n, \beta:[c,d]\to \mathbb{R}^n\),
son dos trayectorias parametrizadas suaves con la misma traza contenida en \(U\) y que
son equivalentes.
Demuestra que si \(\alpha\) y \(\beta\) tienen la misma orientación entonces
\[
\int_\alpha \mathbb{A} \cdot d\alpha = \int_\beta \mathbb{A}\cdot d\beta
\]
y que si tienen orientaciones distintas entonces
\[
\int_\alpha \mathbb{A} \cdot d\alpha = -\int_\beta \mathbb{A}\cdot d\beta
\]
Nota
No podemos dejar de enfatizar la importancia del
Lema anterior . El lema
no está diciendo que la integral de línea es una medida
que es intrínseca de la curva y que la orientación de la misma
juega un papel muy importante. Es decir, si dos personas
dan parametrizaciones distintas de la curva, que preserven
la orientación, la integral de línea es la misma. Si las
parametrizaciones tienen sentidos opuestos, las integrales
difieren por un signo. En resumen:
"la integral de línea no cambia si se reparametriza
la curva preservando la orientación"
"el signo de la integral de línea se invierte si
se invierte la orientación de la curva"
Ejercicio
Sea \(\mathbb{F}=(F_1,\dots, F_n)\) un campo vectorial constante y
sea \(\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}^n\) una trayectoria
parametrizada suave a trozos.
Prueba que
\[
\int_\alpha \mathbb{F}\cdot d\alpha = F\cdot (\alpha(b)-\alpha(a))
\]
Nota: el lado derecho es el producto punto.
Prueba que
\[
\int_\alpha \mathbb{F}\cdot d\alpha = \| F\|\| \alpha(b)-\alpha(a)\| \cos(\theta)
\]
donde \(\theta\) es el ángulo entre \(F\)
y \(\alpha(b)-\alpha(a)\).
Ejercicio
Por \(\alpha\) denotamos la
circunferencia de radio \(r\) centrada en el origen,
recorrida una vez en el sentido contrario a las
menecillas del reloj (sentido positivo).
Demuestra que
\[
\int_\alpha A_1dx+A_2dy = r\left(\int_0^{2\pi}A_2(\alpha(t))\cos(t)-A_1(\alpha)\sen(t)dt
\right)\]
Concluye que, si \(A_1\) y \(A_2\) son funciones constantes, entonces \(\int_\alpha A_1dx+A_2dy=0\).
Ejercicio
Para \(n\) un entero considera la curva \(\alpha_n(t)=(r\cos(nt), r\sen(nt))\)
con \(t\in [0,2\pi]\) y \(r>0\) es un número fijo. Prueba que
\[
\int_{\alpha_n} -\frac{y}{x^2+y^2} dx+ \frac{x}{x^2+y^2}dy = 2\pi n
\]
En particular, esto prueba que si \(n\ne m\) entonces
las curvas \(\alpha_n\) y \(\alpha_m \) NO son equivalente
(pues si lo fueran, por el Lema 5.9
tendrían la misma integral de línea).
Notar que, a pesar de que las \(\alpha_n\)'s tienen
todas la misma traza (una circunferencia de radio \(r\)
centrada en el origen) las integrales de línea sobre
las \(\alpha_n\)'s son distintas. Lo anterior se debe a
la manera en que cada una recorre la circunferencia, pues
pude pensarse que que \(\alpha_n\) recorre la
circunferencia n veces así que la \(n\) sí importa para la integral
de línea.
Ejercicio
Calcula \(\int_{\alpha}\mathbb{F}\cdot d\alpha\).
\(\mathbb{F}(x,y,z)=(0,x^2,yz)\), \(\alpha\)
el segmento de recta que va de \((0,0,0)\) a \((1,1,1)\).
\(\mathbb{F}(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2+1}(x,\sqrt{y}) \),
\(\alpha\) el segmento de curva de la parábola
\(y=x^2\) que va de \((0,0)\) a \((1,1)\).
\(\mathbb{F}=\nabla f\), donde \(f(x,y,z)=xy+yx\)
y \(\alpha\) es la circunferencia centrada en el origen,
de radio 1, recorrida en el sentido positivo.
\(\mathbb{F}(x,y,z)=(x,y,xy)\), \(\alpha\)
el segmento de hélice dado por \(\alpha(t)=(\cos(t),\sen(t), t)\)
\(0 \leq t \leq \pi\).
\(\mathbb{F}(x,y)=(x,y)\), donde \(\alpha(t)=(\cos^3(t),\sen^3(t))\), \(0\leq t \leq 2\pi\).
\(\mathbb{F}(x,y,z)=(y,x,z)\), donde \(\alpha\) es la intersección de
las superficies \(x^2+y^2+z^2=2(x+y), x+y=2\), en la dirección contraria a las
manecillas del reloj, cuando \(\alpha\) es vista desde el origen.
Ejercicio
Sea \(\alpha\) la curva intersección de las superficies
\(x^2+y^2+z^2=2(x+y)\) y \(x+y=a\), con \(0\leq a \leq 2\), recorrida
en el sentido contrario a las manecillas del reloj, vista desde el origen.
Encuentra el \(a\in [0,2]\) para la cual
\[
\int_\alpha ydx+zdy+xdz
\]
es máxima.
Ejercicio
Calcula las integrales de línea.
\(\int_\alpha (x+2y)dx+(2x-5y)dy\), donde \(\alpha\) es la circunferencia
\(x^2+y^2=r^2\), recorrida una vez en el sentido positivo.
\(\int_\alpha \frac{dx+dy}{|x|+|y|}\), donde \(\alpha\) es la frontera del
cuadrado con vértices \((a,a), (-a,a), (-a,-a), (a,-a)\), recorrido en ese orden.
\(\int_\alpha \frac{y^2}{\sqrt{x^2-1}}dx-xdy\) donde \(\alpha\) que va de \((1,0)\) a \((3,\sqrt{8})\) siguiendo la curva
\(x^2-y^2=1\).
\(\int_\alpha y^2dx+(x+z)dy+(y+x)dz\), donde \(\alpha\) es la curva
intersección de las superficies \(x^2+y^2=4\) y \(x+y+z=1\), recorrido en el sentido
positivo visto desde el origen.
\(\int_\alpha (2y+1)dx+zdy+\ln(x+1)dz\), donde \(\alpha\) es la curva intersección de las
superficies \(y=z^2,x=3z\) desde \(z=1\) a \(z=2\).
\(\int_\alpha \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}dx + \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}dy\),
donde \(\alpha\) va desde \((-1,2)\) a \((2,5)\) a lo largo de la parábola
\(y=1+x^2\).
Ejercicio
Las siguientes gráficas muestran un campo vectorial y una curva orientada. Trata de evaluar si
la integral de línea sobre la curva es positiva, negativa o cero.
Ejercicio
Sea \(\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}^n\) una curva suave. Prueba que
\[
\int_\alpha \alpha \cdot d\alpha =\frac{1}{2}\left( \|\alpha(b)\|^2-\|\alpha(a)\||^2\right)
\]
Ejercicio
Este ejercicio prueba que la integral de línea recupera la
integral con respecto a longitud de arco.
Sea \(\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}^n\) una curva suave cuyo vector tangente
no se anula y
\(f:D\to \mathbb{R}\) una función escalar y supongamos que
\(D\) contiene la traza de \(\alpha\).
Definimos el campo vectorial sobre la traza de \(\alpha\) como
\(\mathbb{F}(\alpha(t))=f(\alpha(t))\frac{1}{\|\alpha'(t)\|}\alpha'(t)\).
Prueba que
\[
\int_{\alpha}\mathbb{F}\cdot d\alpha = \int_{\alpha}f |d\alpha|
\]
Ejercicio
Sea \(\mathbb{F}:U\to \mathbb{R}^n\) un campo vectorial y
\(\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}^n\) una curva suave con traza contenida en \(U\).
Si \(\mathbb{F}\) es perpendicular a \(\alpha'\) prueba que
\[
\int_{\alpha}\mathbb{F}\cdot d\alpha =0
\]
Si \(\mathbb{F}\) es paralelo a \(\alpha'\) prueba que
\[
\int_{\alpha}\mathbb{F}\cdot d\alpha =\int_\alpha \|\mathbb{F}\| |d\alpha|
\]
Ejercicio
La trayectoria de una partícula de masa \(m\) en el tiempo está descrita por una trayectoria \(\alpha(t)\),
bajo la acción de un campo de fuerza \(\mathbb{F}\). Si la rapidez de la
partícula es \(v(t)\), su velocidad cinética está dada por
\(\frac{1}{2}mv^2(t)\).
Prueba que el cambio en la energía cinética en un intervalo dado
es igual al trabajo realizado por la fuerza.
Si la partícula se mueve del tiempo \(t=t_1\) a \(t=t_2\) el trabajo realizado es
\[
\int_{t_1}^{t_2} \mathbb{F}(\alpha(t))\cdot \alpha'(t)dt
\]
Debemos de probar
\[
\int_{t_1}^{t_2} \mathbb{F}(\alpha(t))\cdot \alpha'(t)dt =\frac{1}{2}mv^2(t_2)-\frac{1}{2}mv^2(t_1)
\]
donde \(v(t)=\|\alpha'(t)\|\).
Por la segunda ley del movimiento de Newton
\begin{eqnarray*}
F(\alpha(t))&=&m\alpha''(t) \\
\Rightarrow \mathbb{F}(\alpha(t))\cdot \alpha'(t)&=&m\alpha''(t)\cdot \alpha'(t)
\end{eqnarray*}
pero se cumple la identidad
\[
\frac{d}{dt}(\alpha'(t)\cdot \alpha'(t))=2 \alpha'(t)\cdot \alpha''(t)
\]
por lo que podemos escribir
\begin{eqnarray*}
\mathbb{F}(\alpha(t))\cdot \alpha'(t)&=&\frac{1}{2}m \frac{d}{dt}(\alpha'(t)\cdot \alpha'(t)) \\
&=&
\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|\alpha'(t)\|^2\\
&=&\frac{1}{2}m \frac{d}{dt}v^2(t)
\end{eqnarray*}
por lo que
\begin{eqnarray*}
\int_{t_1}^{t_2} \mathbb{F}(\alpha(t))\cdot \alpha'(t)dt &=&\int_{t_1}^{t_2} \frac{1}{2}m\frac{d}{dt}v^2(t) dt \\
&=&
\frac{1}{2}mv^2(t_2)-\frac{1}{2}mv^2(t_1)
\end{eqnarray*}
Ejercicio
Un campo de fuerza está dado por \(\mathbb{F}=(y,zx,xy-x^2z)\). Calcula
el trabajo realizado al mover una partícula desde el origen
al punto \((1,5,2)\), a lo largo de una linea recta (en esa dirección).
Ejercicio
Considera un campo de fuerza en el plano de la forma
\(\mathbb{F}(x,y)=(f_1(x,y),xy)\), donde
\(f_1\) es una función continua en \(\mathbb{R}^2\).
Prueba que el trabajo realizado por \(\mathbb{F}\) para
mover una partícula a lo largo del eje \(y\) siempre
es cero.
Ejercicio
Cosidera el campo de fuerza \(\mathbb{F}(x,y)=(3x-3y,xy)\). Este
campo actua sobre una partícula que debe de moverse desde el origen
hasta la recta \(x=1\) a lo largo de una línea recta de la forma
\(y=ax\), con \(a\geq 0\).
Encuentra los valores de \(a\) para los cuales el trabajo
realizado por la fuerza sobre la partícula sea cero.
Ejercicio
Un campo de fuerza en \(\mathbb{R}^3\) está dado por
\(\mathbb{F}(x,y,z)=(z-x,2z-y,x-y)\). Considera la curva
\(\alpha\) que se obtiene al intersectar la esfera
\(x^2+y^2+z^2=9\) con el plano \(z=ay\) donde \(0< a \). La
curva \(\alpha\) se recorre una sóla vez en el sentido positivo cuando
se ve desde desde arriba del plano \(xy\). Calcula el trabajo
realizado por la fuarza al mover la partícula.
Empecemos por parametrizar la curva que se obtiene al intersectar
la esfera \(x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9\) con el plano \(z = ay\) donde
\(0 < a\). Entonces sustituyendo \(z = ay\) en la ecuación
\(x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9\) obtenemos \(x^{2} + y^{2} + a^{2}y^{2} = 9\),
simplificando llegamos a
\(x^{2} + c^{2}y^{2} = 9\) donde \(c^{2} = 1 + a^2\)
que representa la ecuación de una elipse.
Una parametrización de esta elipse es
\(x(t) = 3\cos (t) \) y \( y(t) = \frac{3\sen (t)}{c}\) donde
\(t \in [0, 2\pi]\). Es claro que \(y(t)\) esta bien definida, ya que \(c > 0\).
Además cabe mencionar que esta parametrización de la elipse la recorre
en sentido contrario a las manecillas del reloj. Como \(z = ay\)
se sigue que \(z(t) = \frac{3a\sen (t)}{c}\).
Sea \(\alpha : [0, 2\pi] \subseteq \mathbb{R} \rightarrow
\mathbb{R}^{3}\) definida como
\[
\alpha (t) = (x(t), y(t), z(t))
=
\left(3\cos(t), \frac{3\sen (t)}{c}, \frac{3a\sen (t)}{c}\right)
\]
Por lo tanto \(\alpha\) es una parametrización de la curva que se
obtiene al intersectar la esfera \(x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9\) con
el plano \(z = ay\).
Ahora procedemos a calcular \(\alpha^{\prime}(t)\).
Basta calcular \(x^{\prime}(t), y^{\prime}(t) \text{ y } z^{\prime}(t)\).
Entonces tenemos que \(x^{\prime}(t) = -3\sen(t), y^{\prime}(t) =
\frac{3\cos(t)}{c} \text{ y } z^{\prime}(t) = \frac{3a\cos(t)}{c}\).
Una observación es que a pesar de que \(\mathbb{F}\) no es un
campo conservativo se tiene que
\(\int_{\alpha}\mathbb{F}\cdot d\alpha = 0\).
Por lo tanto el trabajo realizado por la fuerza al mover
la partícula es \(\int_{\alpha}\mathbb{F}\cdot d\alpha = 0\).
Definición
Dadas dos trayectorias orientadas positivamente suaves a trozos \(\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}^n,
\beta:[c,d]\to \mathbb{R}^n\) con la propiedad de que
\(\alpha(b)=\beta(c)\) (una termina donde la otra empieza) definimos:
\[
\alpha \vee \beta :[0,1] \to \mathbb{R}^n
\]
por
\[
(\alpha \vee \beta )(t)=\left\{
\begin{array}{cc}
\alpha((b-a)(2t)+a) & t\in [0,1/2] \\
\beta((d-c)(2t-1)+c) & t\in [1/2,1]
\end{array}
\right.
\]
Nota: \(\alpha \vee \beta\) también es una curva suave a trozos.
Nota
Orientación de \(\alpha \vee \beta \)
En la definición anterior ¿dónde se usó que las curvas están orientadas positivamente?
Se usó cuando decimos que "una comienza donde la
otra termina". Es decir dadas \(\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}^n\) y
\(\beta:[c,d]\to \mathbb{R}^n\), orientadas
positivamente, \(\alpha(a)\) es punto inicial, \(\alpha(b)\) final y
\(\beta(c)\) es inicial, \(\beta(d)\) final. Lo que
requerimos es que el punto final de una sea el punto inicial de la otra.
Una vez observado esto podemos dar la orientación positiva a
\(\alpha \vee \beta\), es decir \((\alpha \vee \beta)(0) \) es el punto inicial y
\((\alpha \vee \beta)(1)\) el punto final. Nota que ésta orientación
\(\alpha\) y \((\alpha \vee \beta)\) empiezan igual,
\(\beta\) y \((\alpha \vee \beta )\) terminan igual. Lo anterior
se puede resumir diciendo que la orientación de \(\alpha \vee \beta\)
es compatible con ls orientaciones originales de \(\alpha\) y \(\beta\).
Si las curvas están orientadas negativamente se puede definir
\(\alpha \vee \beta \) de igual manera simplemente revertiendo las orientaciones
de cada una y al final dar la orientación negativa a \(\alpha \vee \beta\).
Lo más importante es que la orientacíon de \(\alpha \vee \beta\) sigue
siendo compatible con la orientación original de \(\alpha\) y \(\beta\).
Finalmente, si las curvas no tienen la misma orientación se puede jugar
cambiando la orientación de una para poder definir \(\alpha \vee \beta\)
aunque la orientación que se de a \(\alpha \vee \beta\) no será compatible
con las dos orientaciones de \(\alpha\) y \(\beta\), sólo con una.
Ejercicio
Sean \(\alpha\) y \(\beta\) curvas orientadas positivamente
tal que \(\alpha\) termina donde \(\beta\) comienza.
Prueba que si \(\alpha\) es equivalente a \(\tilde{\alpha}\)
y \(\beta\) es equivalente a \(\tilde{\beta}\) (con las equivalencias
preservando la orientación) entonces
\(\alpha \vee \beta\) es equivalente a
\(\tilde{\alpha} \vee \tilde{\beta}\).
Teorema
Sean \(\mathbb{F},\mathbb{G}:U\to \mathbb{R}^n\) dos campos vectoriales continuos
y \(\alpha:[a,b]\to \mathbb{R}^n\) una curva suave con traza en \(U\). Entonces
\[
\int_\alpha (c\mathbb{F}+\mathbb{G})\cdot d\alpha= c\int_\alpha \mathbb{F}\cdot d\alpha
+\int_\alpha \mathbb{G}\cdot d\alpha
\]
Directamente por la definición de integral de línea
\begin{eqnarray*}
\int_\alpha (c\mathbb{F}+\mathbb{G})\cdot d\alpha &=& \int_a^b [(c \mathbb{F}+\mathbb{G})(\alpha(t))]\cdot \alpha'(t)dt \\
&=& \int_a^b [c \mathbb{F}(\alpha(t))+\mathbb{G}(\alpha(t))]\cdot \alpha'(t)dt \\
&=& \int_a^b \left( c \mathbb{F}(\alpha(t))\cdot \alpha'(t) +\mathbb{G}(\alpha(t))\cdot \alpha'(t)\right)dt \\
&=& \int_a^b c \mathbb{F}(\alpha(t))\cdot \alpha'(t)dt +\int_a^b \mathbb{G}(\alpha(t))\cdot \alpha'(t) dt \\
&=&\int_\alpha c \mathbb{F}\cdot d\alpha + \int_\alpha \mathbb{G}\cdot d\alpha
\end{eqnarray*}
Teorema
Sea \(\mathbb{F}: U\to \mathbb{R}^n\) un campo vectorial continuo y
\(\alpha:[a,b]\to U\) una curva suave a trozos. Entonces
\[
\left|
\int_{\alpha}\mathbb{F} \cdot d\alpha
\right|
\leq \int_{\alpha}\|F\| |d\alpha|
\]
En particular, si \(\mathbb{F}\) está acotada
sobre la traza de \(\alpha\), es decir existe una \(M>0\) tal que \(\| \mathbb{F}(\alpha(t))\| \leq M\)
para todo \(t\in [a,b]\)
entonces
\[
\left| \int_{\alpha}\mathbb{F} \cdot d\alpha
\right|
\leq M \, \textrm{Longitud}(\alpha)
\]
Directamente de la definición de la integral de línea
\begin{eqnarray*}
\left|
\int_{\alpha}\mathbb{F} \cdot d\alpha
\right|&=&
\left|
\int_a^b \mathbb{F}(\alpha(t))\cdot \alpha'(t)dt
\right|\\
&\leq & \int_{a}^b |\mathbb{F}(\alpha(t))\cdot \alpha'(t)|dt
\end{eqnarray*}
done en la última desigualdad usamos la monotonía de la integral
de Riemann-1D.
Por la desigualdad de Cauchy-Schwartz,
\(|\mathbb{F}(\alpha(t))\cdot \alpha'(t)| \leq \|\mathbb{F}(\alpha(t))\|\|\alpha'(t)\|\),
para toda \(t\in [a,b]\). Integrando la desigualdad anterior y por lo antes calculado llegamos a
\begin{eqnarray*}
\left|
\int_{\alpha}\mathbb{F} \cdot d\alpha
\right|&\leq &
\int_a^b \| \mathbb{F}(\alpha(t))\| \|\alpha'(t)\|dt \\
&=& \int_{\alpha}\| \mathbb{F}\| |d\alpha|
\end{eqnarray*}
donde la última igualdad es simplemente la definición de la integral
por longitud de arco.
Finalmente si \(\|\mathbb{F}(\alpha(t))\|\leq M\) para todo \(t\in [a,b]\) se sigue
de la propidad de monotonía de la integral de Riemann-1D que
\begin{eqnarray*}
\int_a^b \| \mathbb{F}(\alpha(t))\| \|\alpha'(t)\|dt & \leq & \int_a^b M \|\alpha'(t)\|dt\\
&=& M\int_a^b \|\alpha'(t)\|dt \\
&=& M \, \textrm{Longitd}(\alpha)
\end{eqnarray*}
Teorema
Sea \(\mathbb{F}:U\to \mathbb{R}^n\) un campo continuo y \(\alpha, \beta\) dos curvas orientadas
suaves a trozos con trazas contenidas en \(U\). Si el punto final de \(\alpha\) coincide con el
punto final de \(\beta\) prueba que
\[
\int_{\alpha \vee \beta }\mathbb{F} \cdot d(\alpha \vee \beta)=\int_\alpha \mathbb{F}\cdot d\alpha
+\int_\beta \mathbb{F}\cdot d\beta
\]
