Definición

Una norma en $\mathbb{R}^n$ es una función, $\| \cdot \| :\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ que satisface

1. $\|p\| \geq 0$ para todo $p\in \mathbb{R}^n$. Además, $\| p \|=0$ si y sólo si $p=0$,
2. $\| \lambda p \| = |\lambda |\|p\|$, para todo $\lambda \in \mathbb{R}$, $p\in \mathbb{R}^n$,
3. $\|p+q\| \leq \|p\| + \|q\|$, for all $p,q\in \mathbb{R}$.

La norma más popular en $\mathbb{R}^n$ es la norma euclideana, la cual está dada, para $p=(p_1,\dots, p_n)$, como: $$ \|p\|_2=\left( \sum_{k=1}^n p_i^2 \right)^{1/2}. $$

Definición

Un producto interior en $\mathbb{R}^n$ es una función $\langle , \rangle : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ que satisface

1. $\langle p, p \rangle \geq 0$ para todo $p\in \mathbb{R}^n$. Además, $\langle p,p \rangle=0$ si y sólo si $p=0$.
2. $\langle p, q \rangle = \langle q,p \rangle$, para todos $p,q \in \mathbb{R}^n$,
3. $\langle p_1+\lambda p_2, q \rangle = \langle p_1, q\rangle + \lambda \langle p_2,q \rangle$, para todos $p_1,p_2,q\in\mathbb{R}$ and $\lambda \in \mathbb{R}$.

El ejemplo de producto interior más usado es el producto punto definido, para $p=(p_1,\dots, p_n), q=(q_1,\dots, q_n)\in \mathbb{R}^n$ como: $$ \langle p, q \rangle=p\cdot q= \sum_{k=1}^n p_kq_k. $$

Definición

La bola abierta, con centro en $p_0\in \mathbb{R}$ y radio $r>0$, es el conjunto $$ B_r(p_0)=\{p\in \mathbb{R}: \|p-p_0\| < r \} $$

Definición

Sea $A\subseteq \mathbb{R}^n$ y $p\in \mathbb{R}^n$.

1. $p$ se llama punto interior de $A$ si existe $r>0$ tal que $B_r(p)\subset A$.
2. $p$ se llama punto de acumulación de $A$ si, para toda $r>0$, existe $q\ne p$ con $q\in B_r(p)\cap A$.
3. $p$ se llama punto frontera de $A$ si, para toda $r>0$ $B_r(p)\cap A \ne \emptyset$ y $B_r(p)\cap A^c \ne \emptyset$.

Definición

Un subconjunto $U\subseteq \mathbb{R}^n$ se llama abierto si, para todo $u_0\in U$, existe $r>0$ (que depende de $u_0$) tal que $B_r(u_0)\subseteq U$. Es decir, un conjunto es abierto si todos sus puntos son puntos interiores.

Definición

La bola perforada con centro en $p_0\in \mathbb{R}^n$ y radio $r>0$ es simplemente $B_r(p_0)\setminus \{p_0\}$. Es decir, la bola sin el centro.

También se le llama vecindad perforada con centro en $p_0$.

Definición

Sea $f$ una función definida en vecindad perforada con centro en $p_0$. Decimos que $\lim_{p\to p_0}f(p)=L$ si, para toda $\varepsilon >0$ existe $\delta=\delta(\varepsilon, p_0)$ (que depende de $\varepsilon$ y $p_0$) tal que si $$ 0 < \| p-p_0\| < \delta \Rightarrow \| f(p)-L \| < \varepsilon. $$

Definición

Una función o transformación lineal de $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}^m$ es una función $T:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ tal que $$ T(p+\lambda q)=T(p)+\lambda T(q) $$ para todos $p,q\in \mathbb{R}^n$ y todo $\lambda\in \mathbb{R}^n$.

Definición

Sea $U$ un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ y $f: U \to \mathbb{R}$ una función. Decimos que $f$ es diferenciable en $p_0\in U$ si, existe una transformación lineal $T:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ tal que $$ \lim_{v \to 0} \frac{\|f(p_0+v)- f(p_0)-T(v) \|}{\| v\|}=0. $$ El límite anterior es equivalente a $$ \lim_{p \to p_0} \frac{\| f(p)-f(p_0)-T(p-p_0)\|}{\| p-p_0\|}=0 $$ tomando $p=p_0+v$.