Por $\mathbb{R}^n$ denotamos al conjunto de $n$-adas de números
reales, es decir
$$
\mathbb{R}^n=\{(p_1,\dots, p_n): p_1,\dots, p_n\in \mathbb{R} \}
$$
A los elementos de $\mathbb{R}^n$ se les llama vectores o puntos en
$\mathbb{R}^n$. En $\mathbb{R}^n$ has dos operaciones:
la suma, la cual se realiza sumando entrada por entrada,
multiplicación escalar.
Con estas operaciones se dice que $\mathbb{R}^n$ es un espacio vectorial.
Ejercicio
Este ejercicio muestra la importancia de $\mathbb{R}^n$.
Considera el espacio de polinomios de grado a lo más $n$, es
decir expresiones de la forma
$$
a_0+a_1x+\cdots +a_n x^{n+1}
$$
donde $a_0,\dots, a_{n+1}\in \mathbb{R}^{n+1}$.
Prueba que con las operaciones de suma de polinomios
y multiplicación por un escalar, el espacio de polinomios
es isomorfo a $\mathbb{R}^n$.
Fija un intervalo $[a,b]$ y $P=\{a=x_0 < \cdots < x_n=b \}$
una partición.
Prueba que el conjunto de funciones escalonadas con dominio \([a,b)\), escalones
en $P$ y y continuas por la derecha es isomorfo a $\mathbb{R}^n$.
Sea $M_n$ el conjunto de matrices de $n\times n$, con las
operaciones usuales de suma de matrices y multiplicación escalar.
Prueba que $M_n$ es isomorfo a $\mathbb{R}^{n^2}$.
Las funciones escalonadas con dominio \([a,b)\) y con escalones en \(P_n=\{a=x_0<\cdots < x_n=b \}\)
son las funciones \(s:[a,b) \to \mathbb{R}\) que cumplen la condición de que \(s\) es constante
en cada un de los intervalos \((x_{i-1},x_i)\), \(i=1,\dots, n\). Que además sean continuas por la
derecha simplemente quiere decir que
\[
\lim_{x\to x_0^+} s(x)=s(x_0)
\]
para todo \(x_0\in [a,b)\). Denotamos por \(V\) a dicho conjunto.
Dadas dos funciones escalonadas \(s,t:[a,b]\to \mathbb{R}\) en \(V\) y un escalar \(\alpha \in \mathbb{R}\)
vamos a probar que \(\alpha s + t \in V\). Pero
esto es cierto pues si \(s\) es igual a la constante \(s_i\) y \(t\) es igual a la constante
\(t_i\) en el intervalo \((x_{i-1}, x_i)\) entonces
\(\alpha s+t\) es igual a \(\alpha s_i+t_i\) en el intervalo \((x_{i-1},x_i)\). Además
por las leyes de los límites
\[
\lim_{x\to x_0^+} (\alpha s +t)(x)=\alpha \lim_{x\to x_0^+}s(x)+\lim_{x\to x_0^+}t(x)=\alpha s(x_0)+t(x_0).
\]
Teniendo
en cuenta de que la función cero es escalonada junto con lo anterior tenemos que
\(V\) es un espacio vectorial.
Para probar que \(V\) es isomorfo a \(\mathbb{R}^n\) debemos de asegurar la existencia de
una función \(\Phi: V \to \mathbb{R}^n \), inyectiva, suprayectiva, que abra sumas y saque
escalares. La idea es que ésta función debe de capturar toda la información de la función y ya que
los valores de la función están ligados a los escalones definimos
\[
\Phi: V \to \mathbb{R}^n
\]
por \(\Phi(s)=(s_1,\dots, s_n)\), donde \(s\) toma el valor de \(s_i\)
en el escalón \((x_{i-1},x_i)\), \(i=1,\dots, n\). Por el argumento que dimos al momento de
probar que \(V\) es espacio vectorial obtenemos que \(\Phi(\alpha s+t)=\alpha \Phi(s)+\Phi(t)\).
Para probar que es inyectiva es equivalente probar que si \(\Phi(s)=\Phi()t\) entonces
\(s=t\). Pero, \(\Phi(s)=\Phi(t)\) significa que para todo
\(i=1,\dots, n\) \(s\) restringida a \((x_{i-1},x_i)\) es
igual a la función \(t\) restringida a \((x_{i-1},x_i)\) es decir \(s(x)=t(x)\) para todo punto \(x\in (x_{i-1},x_i)\). Para terminar resta probar que son iguales en los
puntos \(x_i\), \(i=1,\dots, n\). Para terminar la prueba de que las funciones son iguales
resta probar que \(s(x_i)=t(x_i)\), para todo \(i=1,\dots, n-1\). Pero al ser ambas continuas por la derecha tenemos
\[
s(x_i)=\lim_{x\to x_i^+}s(x)\quad t(x_i)=\lim_{x\to x_i^+}t(x)
\]
y por lo visto anteriormente \(s(x)=t(x)\) para todo \(x\in (x_{i-1},x_i)\), lo cual implica
\[
\lim_{x\to x_i^+}s(x)=\lim_{x\to x_i^+}t(x)
\]
por lo tanto se sigue que \(s(x_i)=t(x_i)\).
Para probar la suprayectividad dado \((r_1,\dots, r_n)\in \mathbb{R}^n\) definimos
\(s:[a,b)\to \mathbb{R}\) tal que
\begin{eqnarray*}
s(x)=r_i, x\in [x_{i-1},x_i)
\end{eqnarray*}
Entonces \(s\) es continua por la derecha, escalonada con escalones en \(P\)
y \(\Phi(s)=(r_1,\dots, r_n)\).
Ejercicio
Soluciona la siguiente ecuación para $x,y,z$.
$$
x(1,2,3)+(y,3y,2)+(z,2,1)=(1,2,3).
$$
$$
y(-1,3,2)+(x,-x,3)+(z,2,5)=(-1,0,3).
$$
Ejercicio
Encuentra todos los pares de números reales $a,b$ que satisfacen
$$
a(-1,1)+b(1,1)=0.
$$
Definición
Las ecuación paramétrica de la linea recta con vector dirección $v$ y
que pasa por el punto $p_0$ esta tadas por
$$
p=p_0+tv, \quad t\in \mathbb{R}
$$
Por ejemplo, en $\mathbb{R}^3$, si $v=(v_1,v_2,v_3), p_0=(x_0,y_0,z_0)$ y $p=(x,y,z)$
esta ecuación es equivalente a
$$
x=x_0+tv_1, \quad y=y_0+tv_2, \quad z=z_0+tv_3
$$
Ejercicio
Encuentra las ecuaciones de la rectas con la información dada
La recta que pasa por el punto $(1,2,3)$ con vector dirección $v=(-1,2,-3)$.
La recta que pasa por los puntos $(5,-7,1)$ y $(-1,0,1)$.
La recta que pasa por el punto $(5,10,15)$ y que es paralela al eje $x$.
La recta que pasa por el punto $(3,-2,-3)$ y que es perpendicular al plano $yz$.
Inciso 1.
En este caso la ecuación paramétrica es
\[
p=t(-1,2,-3)+(1,2,3)=(-t+1,2t+2,-3t+3)
\]
en otras palabras
\[
x=-t+1, y=2t+2, -3t+3
\]
Inciso 2.
Primero encontramos el vector dirección \(v=(-1,0,1)-(5,-7,1)=(-6,7,0)\). Ya que la
recta debe de pasar por \((-1,0,1)\) y \((5,-7,1)\) podemos tomar
cualesquiera de los puntos dados para determinar la ecuación paramétrica. Tomando
\((-1,0,1)\) obtenemos
\[
p=t(-6,7,0)+(-1,0,1)=(-6t-1,7t,1)
\]
es decir
\[
x=-6t-1, y=7t, z=1
\]
Inciso 4.
Ya que la recta debe ser perpendicular al plano \(yz\) el vector director
debe ser perpendicular a dicho plano. Tomando el vector más sencillo perpendicular
al plano \(yz\) obtenemos \(v=(1,0,0)\). Entonces la ecuación paramétrica es
\[
p=t(1,0,0)+(3,-2,-3)=(t+3,-2,-3)
\]
o que es lo mismo que
\[
x=t+3,y=-2,z=-3
\]
Ejercicio
Encuentra todos los puntos de intersección de la recta $x=2+5t,y=5-2t,z=6+3t$ con los planos coordenados.
Ejercicio
Demuestra que las ecuaciones paramétricas de la linea recta que une los puntos $(x_0,y_0,z_0)$ y $(x_1,y_1,z_1)$
son
$$
x=x_0+t(x_1-x_0), \quad y=y_0+t(y_1-y_0), \quad z=z_0+t(z_1-z_0).
$$
Primero encontramos el vector dirección. Como la recta debe de pasar por
\((x_0,y_0,z_0)\) y \((x_1,y_1,z_1)\) podemos tomar dicho vector como
\[
v=(x_1,y_1,z_1)-(x_0,y_0,z_0)=(x_1-x_0, y_1-y_0,z_1-z_0)
\]
entonces la forma paramétrica de la recta es
\[
p=(x_0,y_0,z_0)+ t(x_1-x_0,y_1-y_0, z_1-z_0), t\in \mathbb{R}
\]
que es equivalente a
\[
x=x_0+t(x_1-x_0), y=y_0+t(y_1-y_0), z=z_0+t(z_1-z_0).
\]
Ejercicio
Determina si las rectas con ecuaciones paramátricas
$$
x=1+6t, \quad y=3-3t, \quad z=3t-2, \quad t\in \mathbb{R}
$$
$$
x=2-5s, \quad y=1-2s,\quad z=1+s, \quad s \in \mathbb{R}
$$
se intersectan o no.
Ejercicio
Determina si los puntos dados están o no en une misma recta:
$(2,2,4)$, $(1,2,5)$, $(1,2-5)$.
$(1,-1,-2)$, $(3,0,1)$, $(5,-1,0)$
Ejercicio
Supon que $L\subset \mathbb{R}^3$ es la linea recta con ecuación paramétrica $p=p_0+tv$, donde
$p_0=(x_0,y_0,z_0)$ y $v=(v_1,v_2,v_3)$ con $v_i \ne 0$, $i=1,2,3$. Prueba que un punto $(x,y,z)$ pertenece a $L$
sii $\frac{x-x_0}{v_1}=\frac{y-y_0}{v_2}=\frac{z-z_0}{v_3}$.
\(\Rightarrow ]\) Supongamos que el punto \((x,y,z)\) pertenece a \(L\). Entonces el punto
debe poder escribirse de la forma \((x,y,z)=p_0+t_0v\) para algún \(t_0\) en particular. Igualando
coordenada a coordenada debemos de tener el siguinte sistema de ecuaciones
\[
x=x_0+t_0v_1, y=y_0+t_0v_2, z=z_0+tv_3
\]
Despejando \(t_0\) de las ecuaciones obtenemos
\[
\frac{x-x_0}{v_1}=\frac{y-y_0}{v_2}=\frac{z-z_0}{v3}=t_0
\]
\(\Leftarrow ]\) Suponemos que se cumplen las igualdades
\[
\frac{x-x_0}{v_1}=\frac{y-y_0}{v_2}=\frac{z-z_0}{v3}
\]
definiento
\[
t_0=\frac{x-x_0}{v_1}=\frac{y-y_0}{v_2}=\frac{z-z_0}{v3}
\]
es directo comprobar que
\[
x=x_0+t_0v_1, y=y_0+t_0v_2, z=z_0+tv_3
\]
lo cual implica que \((x,y,z)\) pertenece a \(L\).
Ejercicio
Considera la linea recta en $\mathbb{R}^2$ con ecuación paramétrica
$$p=(0,1)+t(1,1)=(t,t+1).$$
Encuentra $t_0$ que muestre que $(2,3)=(0,1)+t_0(1,1)$. Es decir, $p_1=(2,3)$ está en la linea recta.
El vector $u=(4,4)$ está en la misma dirección que $v$ (son linealmente dependientes). Por lo tanto
la misma recta tiene ecuación paramétrica $(2,3)+s(4,4)$, con $s$ un distinto parámetro.
Encuentra $s_0$ tal que $(0,1)=p_1+s_0u$.
Generaliza el inciso anterior, es decir, dado cualquier punto $p=(t,t+1)$ en la recta, encuentra $s$ (en términos de $t$) tal que
$p=p_1+su$.
Nota: se puede pensar al parámetro $t$ como las coordenas del punto sobre la recta. Estas coordenadas dependen del vector
dirección y el punto en la recta que tomamos. Por lo tanto $t$ depende de $p_0$ y $v$, $s$ depende de $p_1$ y $u$. La relación
entre $t$ y $s$ se puede pensar como una fórmula de cambio de coordenadas.
En este caso debemos de resolver
\[
(t,t+1)=p_1+su=(2,3)+s(4,4)=(2+4s,3+4s)
\]
tratando \(t\) como dato y \(s\) como incógnita. Resolviendo tenemos
\begin{eqnarray*}
t=2+4s, t+1=3+4s \\
\Leftrightarrow \frac{t-2}{4}=s.
\end{eqnarray*}
Definición
Decimos que dos vectores distintos de cero, $u$ y $v$, son
linealmente independientes si uno no es multiplo escalar del otro.
Definición
Sean $u\ne 0$, $v\ne 0$, vectores linealmente independientes.
La ecuación paramétrica del plano que pasa por el punto $p_0$
y está generado por los vectores $u$ y $v$ está
dada por
$$
p=p_0+tu+sv, \quad t,s \in \mathbb{R}
$$
Si el plano está en $\mathbb{R}^3$, y $p_0=(x_0,y_0,z_0)$, $u=(u_1,u_2,u_3), v=(v_1,v_2,v_3)$
podemos escribir las ecuaciones como
$$
x=x_0+tu_1+sv_1, \quad y= y_0+tu_2+sv_2, \quad z=z_0+tu_3+sv_3.
$$
Ejercicio
Encuentras las ecuaciones paramétricas del plano que paso por $p_0=(1,1,1)$, generado por los vectores
$u=(1,0,1), v=(-1,-1,0)$. Después demuestra que todos los puntos de dicho plano satisfacen la relación
$x-y-z+1=0$.
Tomando la forma paramétrica del plano tenemos que los puntos \(p=(x,y,z)\) del plano son de la forma
\begin{eqnarray*}
p&=&p_0+tu+sv \\
&=&(1,1,1)+t(1,0,1)+s(-1,-1,0)\\
&=&(1+t-s,1-s,1+t)
\end{eqnarray*}
que es equivalente a
\[
x=1+t-s,y=1-s,z=1+t
\]
Finalmente substituyendo las expresiones anteriores en la ecuación
\(x-y-z+1\) llegamos
\[
x-y-z+1=(1+t-s)-(1-s)-(1+t)+1=0
\]
Definición
Un conjunto de vectores $\{\mathbf{v}_1, \dots , \mathbf{v}_k\}$, todos distintos de cero,
se llama linealmente
independiente si siempre que se cumpla la igualdad
$$
\sum_{i=1}^k \alpha_i \mathbf{v}_i=0,
$$
con $\alpha_i \in \mathbb{R}$, se sigue que $\alpha_i=0$ para toda $i=1,\dots, k$.
Ejercicio
Demuestra que el conjunto $\{(1,-1,0),(0,1,0), (0,1,-1) \}$ es linealmente independiente.
Tomamos una combinación lineal igual a cero
\[
a(1,-1,0)+b(0,1,0)+c(0,1,-1)=0,
\]
debemos de probar que los escalares, \(a,b\) y \(c\) son todos iguales a cero.
Escribiendo la identidad anterior como un sistema de ecuaciones
llegamos a
\begin{eqnarray*}
a=0\\
-a+b-c=0\\
-c=0
\end{eqnarray*}
en el cual se ve directamente que \(a=b=c=0\).
Definición
En $\mathbb{R}^n$ se define la norma de un vector $p=(p_1,\dots, p_k)$ como
$$
\|p\|=\left( \sum_{k=1}^k p_k^2\right)^{1/2}
$$
La distancia entre dos puntos $p,q \in \mathbb{R}^n$ se define como
$$
\|p-q\|
$$
Da un ejemplo que muestra que $\|p+q\|\ne \|p\|+\|q\|$.
Primero vamos a ver algunas condiciones para las cuales
se tiene la igualdad. Si la igualdad se da entonces
\begin{eqnarray*}
\|p+q\|^2&=&(\|p\|+\|q\|)^2 \\
\Leftrightarrow \langle p+q, p+q \rangle &=& \|p\|^2 +2\|p\|\|q\|+\|q\|^2 \\
\Leftrightarrow \langle p,p\rangle + \langle q,p\rangle+ \langle p,q\rangle + \langle q,q \rangle &=&\|p\|^2+2\|p\|\|q\|+\|q\|^2 \\
\Leftrightarrow \|p\|^2+2\langle p,q\rangle +\|q\|^2 &=& \|p\|^2+2\langle p,q\rangle +\|q\|^2 \\
\Leftrightarrow \langle p,q \rangle &=&\|p\|\|q\|
\end{eqnarray*}
Entonces la condición \( langle p,q \rangle =\|p\|\|q\| \) es equivalente a
\(\|p+q\|=\|p\|+\|q\|\). Entonces para terminar el ejercicio buscamos
\(p\) y \(q\) que no cumplan \(\langle p,q \rangle =\|p\|\|q\|\), por ejemplo
dos vectores perpendiculares distintos de cero. Tomamos \(p=(1,0)\) y \(q=(0,1)\).
Entonces \(\|p+q\|=\sqrt{2}\) y \(\|p\|+\|q\|=2\).
Ejercicio
Desigualdad de Cauchy-Schwartz en $\mathbb{R}^n$
Sean $p,q\in \mathbb{R}^n$.
Usa la ley de los cosenos para probar
$$
\|p-q\|^2=\|p\|^2+\|q\|^2-2\|p\|\|q\| \cos(\theta)
$$
donde $\theta\in [0,\pi]$ es el ángulo entre $p$ y $q$.
Usando lo anterior concluye que
\begin{equation}\label{Eqn:PrevioCauchySchwartz}
\langle p , q \rangle= \|p\| \|q\| \cos(\theta).
\end{equation}
Concluye que
$$
|\langle p, q \rangle| \leq \|p\| \|q\|
$$
conocida como la desigualdad de Cauchy-Schwartz.
Inciso 1.
Como la identidad involucra sólo los puntos \(p\) y \(q\)
podemos considerar el plano generado por \(p,q\) y el origen
y pensar la identidad vista en este plano, es decir, no podemos
restringir a \(\mathbb{R}^2\) y ahí aplicar la ley de los cosenos.
Aplicando a la ley de los cosenos al triángulo con vértices el origen, \(p\)
y \(q\) obtenemos
\[
\|p-q\|^2 = \|p\|^2+\|q\|^2-2\|p\|\|q\|\cos(\theta)
\]
Inciso 2.
Escribiendo \(\|p-q\|^2=\langle p-q, p-q\rangle\) y desarrolando el lado derecho obtenemos
\[
\|p-q\|^2=\|p\|^2-2\langle p,q\rangle +\|q\|^2.
\]
Igualando con la ley de los cosenos llegamos a
\[
\|p\|^2-2\langle p,q\rangle +\|q\|^2=\|p\|^2+\|q\|^2-2\|p\|\|q\|\cos(\theta)
\]
por lo que concluimos
\[
\langle p,q\rangle = \|p\|\|q\|\cos(\theta).
\]
Inciso 3.
Utilizando que, para todo ángulo \(\theta\), \(|\cos(\theta)|\leq 1\) se sigue
directamente que
\[
|\langle p, q \rangle |\leq \|p\| \|q\|
\]
Ejercicio
Este ejercicio muestra que el área del triángulo con vértices $0, u=(u_1,u_2)$ y $v=(v_1,v_2)$
es $\frac{1}{2}|u_1v_2-u_2v_1|$.
Prueba que el área del triángulo es $\frac{1}{2}\|u\|(\|v\| \operatorname{sen}(\theta))$,
donde $\theta\in [0,\pi]$, es el ángulo entre $v$ y $u$.
Prueba que $\operatorname{sen}(\theta)=\sqrt{1- \left( \frac{\langle u , v \rangle }{\|u\|\|v\|} \right)^2}$.
Sugerencia: usa ecuación \eqref{Eqn:PrevioCauchySchwartz}.
Prueba que el área es igual a $\frac{1}{2}\sqrt{\|u\|^2\|v\|^2-(\langle u, v\rangle )^2}$.
Finalmente prueba que $\|u\|^2\|v\|^2-(\langle u, v\rangle )^2=(u_1v_2-u_2v_1)^2$.
Inciso 1.
El área de un triángulo es \(\frac{1}{2}\textrm{base}\times \textrm{altura}\). Tomando como la
base el lado que une \(0\) con \(u\) tenemos que
\begin{eqnarray*}
\textrm{base}=\|u\|\\
\textrm{altura}= \|v\|\sen(\theta)
\end{eqnarray*}
Inciso 2.
Por la prueba de la desigualdad de Cauchy-Schwartz tenemos
\[
\langle u, v \rangle = \|u\|\|v\| \cos(\theta)
\]
por lo que
\begin{eqnarray*}
\sen(\theta)&=&\sqrt{1-\cos^2(\theta)} \\
&=& \sqrt{1- \frac{\langle u, v \rangle ^2}{\|u\|^2\|v\|^2}}
\end{eqnarray*}
Inciso 3.
Substituyendo el valor de \(\sen(\theta)\) en la fórmula del inciso (1) resulta
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{2}\textrm{base}\textrm{altura}&=& \frac{1}{2}\|u\| \|v\| \sqrt{\frac{\|u\|^2\|v\|^2- \langle u, v \rangle ^2}{\|u\|^2\|v\|^2}} \\
&=&\frac{1}{2}\|u\| \|v\| \frac{1}{\|u\|\|v\|}\sqrt{\|u\|^2\|v\|^2- \langle u, v \rangle ^2} \\
&=& \frac{1}{2}\sqrt{\|u\|^2\|v\|^2-\langle u,v\rangle^2}
\end{eqnarray*}
Inciso 4.
Finalmente hacemos la cuenta directamente
\begin{eqnarray*}
\|u\|^2\|v\|^2-(\langle u,v \rangle)^2&=&(u_1^2+u_2^2)(v_1^2+v_2^2)-(u_1v_1+u_2v_2)^2 \\
&=& u_1^2v_1^2+u_2^2v_1^2 + u_1^2v_2^2+u_2^2v_2^2-(u_1^2v_1^2+2u_1v_1u_2v_2+u_2^2v_2^2)\\
&=& u_2^2v_1^2+u_1^2v_2^2-2u_1v_1u_2v_2=(u_2v_1-u_1v_2)^2
\end{eqnarray*}
Ejercicio
Encuentra el área del triángulo con vértices en los puntos $(1,1), (0,3)$ y $(4,5)$.
Ejercicio
Identidad del paralelogramo
Sean $v, w\in \mathbb{R}^n$.
Usando las propiedades del producto interior, demostrar la siguiente identidad
$$
\|v+w\|^2+\|v-w\|^2=2(\|v\|^2+\|w\|^2)
$$
Recordemos que $\|v\|^2 = \langle v, v \rangle$, así
\begin{align*}
\|v + w\|^2 =& \langle v + w, v + w\rangle, \\
=& \langle v, v+w \rangle + \langle w, v + w \rangle , \\
=& \langle v, v \rangle + \langle v,w \rangle + \langle w , v \rangle + \langle w, w \rangle, \\
\| v - w\|^2 =& \langle v-w , v-w \rangle, \\
=& \langle v, v - w \rangle - \langle w , v - w \rangle ,\\
=& \langle v,v \rangle - \langle v , w \rangle - \langle w, v \rangle + \langle w , w \rangle.
\end{align*}
Al sumar las dos expresiones anteriores notamos que los términos cruzados se cancelan y obtenemos
\begin{equation*}
\|v + w\|^2 + \|v w\|^2 = 2\langle v,v \rangle + 2\langle w,w \rangle = 2(\|v\|^2+\|w\|^2).
\end{equation*}
Definición
Dos vectores $p,q\in \mathbb{R}^n$ se llaman ortogonales si $\langle p,q \rangle=0$.
Ejercicio
Teorema de Pitágoras
Par dos vectores $p, q \in \mathbb{R}^n$, demuestra:
$\|p+q\|^2=\|p\|^2+\|q\|^2$ si y sólo si los vectores son perpendiculares.
Usando que \(\|p\|^2=\langle p, p\rangle\) para todo punto \(p\in \mathbb{R}^n\)
podemos reescribir:
\begin{eqnarray*}
\|p+q\|^2&=&\|p\|^2+\|q\|^2 \\
&\Leftrightarrow & \\
\langle p+q,p+q \rangle & = & \langle p, p \rangle + \langle q,q \rangle \\
& \Leftrightarrow & \\
\langle p,p \rangle + 2 \langle p,q \rangle + \langle q,q\rangle & = & \langle p, p \rangle + \langle q,q \rangle
\end{eqnarray*}
donde en la última implicación usamos las propiedades del producto interior mencionadas en
Ejercicio 1.22.
Cancelando los términos iguales en la última identidad concluimos
\[
\|p+q\|^2=\|p\|^2+\|q\|^2 \Leftrightarrow \langle p, q\rangle =0.
\]
Ejercicio
Encuentra los valores de $x$ para los cuales los vectores $(x,2x,1)$ y $(4x,-1,x)$ son ortogonales.
Los vectores son ortogonales si y sólo si $\langle (x,2x,1) ,(4x,-1,x) \rangle = 0$, al
desarrollar esta expresión se obtiene que
\begin{equation*}
\langle (x,2x,1) ,(4x,-1,x) \rangle = 4x^2 - x = 0,
\end{equation*}
ésta se puede factorizar como $x(4x -1)$ de donde concluimos que los valores de $x$ para
los cuales los vectores son ortogonales son exactamente $x=0$ y $x=1/4$.
Ejercicio
Demuestra que, para todos $p,q\in \mathbb{R}^3$
$$
\| p-q\|^2= \|p\|^2-2 \langle p, q \rangle +\|q\|^2.
$$
Ejercicio
Sean $u,v,w\in \mathbb{R}^3$ tres vectores distintos de cero y ortogonales dos a dos.
Demuestra que
el conjunto $\{u,v,w\}$ es linealmente independiente.
Es un hecho, no lo demuestres, que un conjunto de tres vectores en $\mathbb{R}^3$, linealmente
independientes, genera $\mathbb{R}^3$, es decir para todo $p\in \mathbb{R}^3$,
existen escalares $\alpha,\beta,\gamma$ tales que $p=\alpha u+ \beta v +\gamma w$.
Usando lo anterior demuestra que, para todo $p\in \mathbb{R}^3$
$$
p=\frac{\langle p, u \rangle}{\|u\|^2} u + \frac{\langle p,v\rangle}{\|v\|^2} v+
\frac{\langle p,w \rangle}{\|w\|^2} w.
$$
Inciso 1.
Tomemos una combinación lineal igualada a cero:
\[
au+bv+cw=0
\]
Debemos de probar que \(a=b=c=0\). Pero haciendo producto interior con
el vector \(u\) obtenemos
\begin{eqnarray*}
\langle au+bv+cw , u \rangle = \langle 0, u \rangle \\
\Leftrightarrow \\
a \langle u,u \rangle + b \langle v, u \rangle + c \langle w,u \rangle =0 \\
\Leftrightarrow \\
a\|u\|^2 =0
\end{eqnarray*}
donde en la última implicación usamos que los vectores son ortogonales dos a dos. Ya que
\(u\ne 0\) de la identidad anterior concluimos \(a=0\).
Haciendo un argumento similar, ahora tomando producto interior con \(v\) y \(w\) respectivamente,
obtenemos que \(b=0\) y \(c=0\).
Insico 2.
Supongamos que dado \(p\in \mathbb{R}^3\) lo expresamos
\[
p=\alpha u + \beta v +\gamma w
\]
Haciendo producto interior con el vector \(u\) llegamos a
\[
\langle p, u \rangle = \alpha \langle u,u\rangle + \beta \langle v,u\rangle +
\gamma \langle w, u \rangle=\alpha \|u\|^2
\]
despejando \(\alpha\) llegamos a que \(\alpha = \frac{\langle p, u\rangle }{\|u\|^2}\).
Con la misma técnica se puede ver que
\[
\beta= \frac{\langle p, v\rangle }{\|v\|^2},\quad \gamma= \frac{\langle p, w\rangle }{\|w\|^2}
\]
Ejercicio
Otra demostración de la desigualdad de Cauchy-Schwartz
Sean $p$ y $q$ dos vectores en $\mathbb{R}^n$. Entonces
$$
|\langle p,q \rangle| \leq \|p\|\|q\|.
$$
Sugerencia: considera la función $f(t)=\|p+tq\|^2$, $t\in \mathbb{R}$. Prueba que $f$ es una
cuadrática cuya gráfica
siempre está por arriba del eje horizontal y finalmente encuentra su discriminante.
Usando las propiedades del producto interior (Ejercicio 1.22)
obtenemos
\begin{eqnarray*}
f(t)&=&\langle p+tq , p+tq \rangle \\
&=& \langle p,p \rangle + 2 \langle p, t q\rangle + \langle tq,tq \rangle \\
&=& \|p\|^2+2t \langle p,q \rangle+ t^2\|p\|^2
\end{eqnarray*}
Como función de la variable \(t\) la cuenta anterior prueba que \(f(t)\) es una parábola. Por otro
lado como \(f(t)=\|p+tq\|^2\) y las normas son no negativas la gráfica de la parábola \(f(t)\)
siempre está por del eje \(x\) por lo que su determinante es menor o igual a cero. Calculando
directamente el determinante llegamos
\[
B^2-4AC=(2\langle p,q\rangle)^2-4\|p\|^2\|q\|^2 .
\]
Simplificando el determinante y usando que es menor o igual a cero tenemos
\[
4 (\langle p,q \rangle)^2-4\|p\|^2\|q\|^2 \leq 0 \Leftrightarrow |\langle p,q\rangle| \leq \|p\|\|q\|
\]
Ejercicio
Aún otra demostración de Cauchy-Schwartz
Sea $v$ un vector arbitrario y $u$ un vector unitario, en un espacio con producto interior.
Usando las propiedades del producto interior demuestra que
$$
0\leq \| v- \langle u,v \rangle u\|^2=\|v\|^2-(\langle u , v \rangle )^2.
$$
Con el inciso anterior da otra demostración de la desigualdad de Cauchy-Schwartz.
Demuestra que si $|\langle u, v \rangle |=\|u\|\|v\|$ entonces $v=\langle u, v \rangle u$.
Usando el ejercicio anterior muestra que la igualdad en la desigualdad de Cauchy-Schwartz
se da si y sólo si uno de los vectores es múltiplo escalar del otro (es decir,
si son linealmente dependientes).
Ejercicio
Desigualdad del triángulo
Usa la desigualdad de Cauchy-Schwartz para probar que, para todos los vectores $p,q$
$$
\| p+q\| \leq \|p\|+\|q\|.
$$
Ejercicio
Para un vector $p=(p_1\dots, p_n) $ demuestra
$ \|p\| \leq \sum_{i=1}^n|p_i| $.
para toda $i=1,\dots, n$, $|p_i| \leq \|p\|$
Ejercicio
La otra desigualdad del triángulo
Demuestra, para todos los vectores $p,q$ en un espacio con producto interior:
$$
|\|p\| - \|q\|| \leq \|p-q\|.
$$
Sugerencia: empieza con $\|p\|$ suma y resta $q$ y usa la desigualdad del triángulo.
Se tiene que demostrar que $-\|p-q\| \leq \|p\| - \|q\| \leq \|p-q\|$, para ello
comenzamos con $\|p\|$ y aplicamos la desigualdad del triángulo:
\begin{equation*}
\|p\| = \|p-q + q\| \leq \|p - q\| + \|q\|,
\end{equation*}
y al despejar uno de los términos se obtiene que $ \|p\| - \|q\| \leq \|p - q\|$, que
es justamente la desigualdad del lado derecho.
Si ahora realizamos el mismo proceso comenzando por $\|q\|$ entonces obtenemos que
$\|q\| \leq \|q-p\| + \|p\|$ y $\|q\| - \|p\| \leq \|p - q\|$. Al multiplicar ambos
lados de la desigualdad por $-1$ obtenemos la desigualdad faltante, $-\|p-q\| \leq \|p\| - \|q\|$.
Ejercicio
Usar la dsigualdad de Cauchy-Schwarz para probar que, para cualesqueira tres
reales $a,b,c$
$$
(a+b+c)^2 \leq 3(a^2+b^2+c^2)
$$
Ejercicio
Otra demostración de la desigualdad de Cauchy-Schwartz
Sean $x_1,\dots, x_n, y_1,\dots, y_n \in \mathbb{R}.$
Con el inciso anterior da otra demostración de la desigualdad de Cauchy-Schwartz, es decir:
$$
\left| \sum_{i=i}^n x_iy_i \right| \leq \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right)^{1/2}\left( \sum_{i=1}^n y_i^2 \right)^{1/2}
$$
La desigualdad de Cauchy-Schwartz se obtiene directamente de la identidad anterior, para ello basta notar que
$\sum_{i < j} (x_iy_j -x_jy_i)^2 \geq 0$, por lo tanto
\begin{equation*}
\bigg( \sum_{i=1}^n x_iy_i \bigg)^2=\bigg( \sum_{i=1}^n x_i^2 \bigg)\bigg( \sum_{i=1}^n y_i^2 \bigg)-
\sum_{i < j} (x_iy_j -x_jy_i)^2 \leq \bigg( \sum_{i=1}^n x_i^2 \bigg)\bigg( \sum_{i=1}^n y_i^2 \bigg),
\end{equation*}
de modo que al tomar la raíz cuadrada de ambos lados de la igualdad se obtiene
\begin{equation*}
\left| \sum_{i=i}^n x_iy_i \right| \leq \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right)^{1/2}\left( \sum_{i=1}^n y_i^2 \right)^{1/2}
\end{equation*}
Ejercicio
Sea $L$ una línea recta con ecuación $p_0+tv$. Supongamos que $p_1\in L$ y que $u\ne 0$ es otro vector linealmente
dependiente con $v$, para que $p_1+su$ sea otra ecuación paramétrica de $L$. Demuestra que si
$$
p_0+tv=p_1+su
$$
entonces $s= \frac{1}{\|u\|^2} \langle (p_0-p_1), u \rangle + t \frac{\langle v, u \rangle}{\|u\|^2}$.
Sugerencia: haz producto interior con el vector $\frac{1}{\|u\|^2}u$ en cada uno de los lados
de la igualdad $p_0+tv=p_1+su$ y utiliza las propiedades del
producto interior para despejar \(s\).
