Recordamos que dada una función lineal $F:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$, $F$ es invertible si y sólo si existe una función $F^{-1}:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ tal que $F^{-1}\circ F(p)=p=F\circ F^{-1}(p)$, para todo $p\in \mathbb{R}^n$. En este caso, $F^{-1}$ se llama la función inversa de $F$. También se dice que $F$ es una biyección de $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}^n$ o que tiene una inversa global.
En la Sección 3 vimos que dada una función lineal entre espacios de la misma dimensión, $F:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$, $F$ es invertible si y sólo si la matriz asociada a $F$ es invertible (Teorema 3.23). Además si $A$ es la matriz asociada a $F$ entonces $A$ es invertible si y sólo si $\det(A)\ne 0$. En resumen, la invertibilidad de la función $F$ se reduce a ver si un número (el determinante) es distinto de cero o no.
El teorema de la función inversa es un resultado que generaliza esta idea, pero para funciones clase $C^1$. Sin embargo, el teorema no es tan fácil de enunciar como el caso lineal. Para empezar la invertibilidad de la función sólo será local no global como en el caso lineal. Por ejemplo, la función $f(x)=x^3$ es invertible globalmente (es decir, es una biyección de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$) con inversa $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}$, pero la función $f(x)=x^2$ no lo es pues en particular no es inyectiva. Asi pues tenemos que empezar a hablar de vecindades para poder hablar de inversibilidad local.
Dado $p\in \mathbb{R}^n$ por una vecindad de $p$ entendemos a cualquier conjunto $V \subset \mathbb{R}^n$ tal que $p\in V$ y tal que $V$ es abierto.
Si $F:U \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ es una función y $p\in U$, decimos que $F$ tiene una inversa local en $p$ si existe $V$, una vecindad de $p$, tal que:
Por ejemplo, aunque la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, dada por $f(x)=x^2$, no tiene inversa global (al no ser inyectiva), $f$ tiene una inversa local tomando $V=(0,\infty)$ pues entonces entonces $f(V)=(0,\infty)$ y $f$ da una biyección entre $V$ y $f(V)$ con inversa $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$.
Sea $U$ un abierto de $\mathbb{R}^n$ y $F:U\to \mathbb{R}^n$ una función de clase $C^1$ en $U$ (también llamada un campo vectorial).
Sea $\mathbf{p}_0\in U$ y supongamos que la derivada de $F$ en $\mathbf{p}_0$, denotada $D_{\mathbf{p}_0}F$, es una biyección de $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}^n$ (es decir, $\det(D_{\mathbf{p}_0}F)\ne 0$).
Entonces $F$ tiene una inversa local en $p_0$ que además es clase $C^1$. Es decir: existe $W$, una vecindad de $\mathbf{p}_0$, tal que $F(W)$ es una vecindad de $F(\mathbf{p}_0)$ y además se cumple:
Finalmente las derivadas se relacionan como \[ D_{q}F^{-1} = (D_{p}F)^{-1}. \] para $p\in W$ con $q=F(p)$.
Nota: como consecuencia, si $p=(p_1,\dots, p_n), F=(f_1,\dots, f_n)$ y $F(p)=q=(q_1,\dots, q_n)$ entonces el sistema, $F(p)=q$, que se puede desarrollar como: \begin{eqnarray*} q_1=f_1(p_1,\dots, p_n) \\ q_2=f_1(p_1,\dots, p_n) \\ \vdots \\ q_n=f_n(p_1,\dots, p_n) \end{eqnarray*} se puede resolver para $p_1,\dots, p_n$, es decir, despejar las $p_i's$ en terminos de las $q_i's$.
Sea \(f:(a,b)\to \mathbb{R}\) una función de clase \(C^1\) en $(a,b)$. Si \(f'(x_0)\ne 0\) entonces existen intervalos tal que \(f: (x_0-\delta,x_0+\delta)\to (f(x_0)-\epsilon,f(x_0)+\epsilon)\) es invertible (es decir, biyectiva) además \(f^{-1}(y)\) es de clase \(C^1\) con \[ \frac{d f^{-1}}{d y}(f(x)) = \frac{1}{\frac{d f}{d x}(x)}. \] para $x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)$.
Las funciones $\sen:(-\pi/2,\pi/2)\to (-1,1)$ y $\cos:(0,\pi)\to (-1,1)$ son invertibles. Sus inversas son las funciones $\arcsen:(-1,1)\to (-\pi/2,\pi/2)$ y $\arccos:(-1,1)\to (0,\pi)$ respectivamente. Además, $\arcsen$ y $\arccos$ son de clase $C^1$ con \[ \frac{d \arcsen}{d y}(y) = \frac{1}{\sqrt{1-y^2}} \quad \textrm{y} \quad \frac{d \arccos}{d x}(y) = -\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}. \]
La función $\tan:(-\pi/2,\pi/2)\to \mathbb{R}$ es invertible con inversa $\arctan:\mathbb{R}\to (-\pi/2,\pi/2)$ de clase $C^1$ con \[ \frac{d \arctan}{d y}(y) = \frac{1}{1+y^2}. \]
Denotemos $f(x)=\sen(x)$ para $x\in (-\pi/2,\pi/2)$. Entonces $f'(x)=\cos(x)$ y como $\cos(x)\ne 0$ para toda $x\in (-\pi/2,\pi/2)$, $f$ es invertible localmente con inversa $f^{-1}(y)$ clase $C^1$ y además \[ \frac{d f^{-1}}{d y}(f(x)) = \frac{1}{\frac{d f}{d x}(x)}. \] Por $x$ denotamos la variable de $f$ y $y$ la variable de $f^{-1}$. Entonces estas variables se relacionan como $f(x)=y, f^{-1}(y)=x$.
Ahora tenemos que escribir $\frac{1}{\frac{d f}{d x}(x)}$ en término de la variable $y$ para obtener las fórmulas de las derivadas de las funciones trigonométricas inversas.
Tenemos que: $\sen^2(x)+\cos^2(x)=1$ y $\frac{df}{dx}(x)=\cos(x)$ por lo que \[ f(x)^2+ \left(\frac{df}{dx}(x) \right)^2=1 \] despejando tenemos \[ \frac{1}{\sqrt{(\frac{df}{dx}(x))^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-f(x)^2}} \] pero como en $(-\pi,\pi)$, $\frac{df}{dx}(x)=\cos(x)>0$, se tiene que $\sqrt{(\frac{df}{dx}(x))^2}=\frac{df}{dx}(x)$ por lo tanto obtenemos \[ \frac{1}{\frac{df}{dx}(x)}=\frac{1}{\sqrt{1-f(x)^2}}. \] Finalmente substituyendo $f(x)=y$ y $\frac{1}{\frac{df}{dx}(x)}=\frac{df^{-1}}{dy}(f(x))$ concluimos \[ \frac{df^{-1}}{dy}(y)=\frac{d \arcsen}{dy}(y)=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}} \]
Denotemos $g(x)=\cos(x)$ para $x\in (0,\pi)$. Como $g'(x)=-\sen(x)\ne 0$ para todo $x\in (0,\pi)$, $g$ es invertible localmente con $g^{-1}(y)$ clase $C^1$. Además \[ \frac{d g^{-1}}{d y}(g(x)) = \frac{1}{\frac{d g}{d x}(x)}. \] Al igual que en el caso de seno, usando $\cos^2(x)+\sen^2(x)=1$ obtenemos \[ g(x)^2+ \left(\frac{dg}{dx}(x) \right)^2=1 \] despejando tenemos \[ \frac{1}{\sqrt{(\frac{dg}{dx}(x))^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-g(x)^2}} \] pero como en $(0,\pi)$, $\frac{dg}{dx}(x)=-\sen(x) < 0$, se tiene que $\sqrt{(\frac{dg}{dx}(x))^2}=-\frac{dg}{dx}(x)$ por lo tanto obtenemos \[ -\frac{1}{\frac{dg}{dx}(x)}=\frac{1}{\sqrt{1-g(x)^2}}. \] Finalmente substituyendo $g(x)=y$ y $\frac{1}{\frac{dg}{dx}(x)}=\frac{dg^{-1}}{dy}(g(x))$ concluimos \[ \frac{dg^{-1}}{dy}(y)=\frac{d \arccos}{dy}(y)=-\frac{1}{\sqrt{1-y^2}} \]
Denotemos $h(x)=\tan(x)$ para $x\in (-\pi/2,\pi/2)$. Como $h'(x)=\sec^2(x) > 0$ para todo $x\in (-\pi/2,\pi/2)$, $h$ es invertible localmente con $h^{-1}(y)$ clase $C^1$. Además \[ \frac{d h^{-1}}{d y}(h(x)) = \frac{1}{\frac{d h}{d x}(x)}. \] Ahora utilizamos la identidad $1+\tan^2(x)=\sec^2(x)$ para obtener \[ 1 + h(x)^2= \frac{dh}{dx}(x) \] despejando tenemos \[ \frac{1}{\frac{dh}{dx}(x)}=\frac{1}{1+h(x)^2} \] Finalmente substituyendo $h(x)=y$ y $\frac{1}{\frac{dh}{dx}(x)}=\frac{dh^{-1}}{dy}(h(x))$ concluimos \[ \frac{dh^{-1}}{dy}(y)=\frac{d \arctan}{dy}(y)=\frac{1}{1+y^2} \]
Sea $f:U\subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ una función de clase $C^2$ en el abierto $U$. El Laplaciano de $f$ se define como la función $\Delta f: U \to \mathbb{R}$ dada por \[ \Delta f= \frac{\partial^2 f}{\partial^2 x}+\frac{\partial^2 f}{\partial^2 y} \] Ahora queremos probar que, suponiendo $f$ como una función en coordenadas polares $(r,\theta)$, el Laplaciano se calcula como \[ \Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial^2 r} + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial^2 \theta} \]
Para empezar tenemos pensar a las variables $x,y$ como funciones, en este caso como funciones en coordenadas polares: \[ x=r\cos(\theta), \quad y= r\sen(\theta). \] Este cambio de variables lo podemos codificar en la función $F:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ dada por $F(r,\theta)=(r\cos(\theta), r\sen(\theta))$. Notamos que si $F$ tuviese inversa entonces podemos escribir $F^{-1}(x,y)=(r(x,y), \theta(x,y))$. En vez de calcular directamente $r$ y $\theta$ como funciones de $x,y$, vamos a usar el teorema de la función inversa para encontrar expresiones para $\frac{\partial r}{\partial x},\frac{\partial r}{\partial y}$, $\frac{\partial \theta}{\partial x}$, $\frac{\partial \theta}{\partial y}$, las cuales utilizaremos más adelante.
La matriz de derivadas parciales de $F$ es \begin{eqnarray*} D_{(r,\theta)}F&=&\left[ \begin{array}{cc} \partial_r x & \partial_\theta x \\ \partial_r y & \partial_\theta y \end{array} \right] \\ &=&\left[ \begin{array}{cc} \cos(\theta) & -r\sen(\theta) \\ \sen(\theta) & r\cos(\theta) \end{array} \right] \end{eqnarray*} Tomando el determinante tenemo \begin{eqnarray*} \det(D_{(r,\theta)}F)&=&\det\left[ \begin{array}{cc} \cos(\theta) & -r\sen(\theta) \\ \sen(\theta) & r\cos(\theta) \end{array} \right]\\ &=&r\cos^2(\theta)+r\sen^2(\theta)\\ &=&r \end{eqnarray*} Asi que para $r>0$ el teorema de la función inversa dice que $F$ tiene una inversa local y además \begin{eqnarray*} D_{(x,y)}F^{-1}&=&(D_{(r,\theta)}F)^{-1} \\ &=& \left[ \begin{array}{cc} \cos(\theta) & -r\sen(\theta) \\ \sen(\theta) & r\cos(\theta) \end{array} \right]^{-1} \\ &=&\frac{1}{\det(D_{(r,\theta)}F)}\left[ \begin{array}{cc} r \cos(\theta) & r\sen(\theta) \\ -\sen(\theta) & \cos(\theta) \end{array} \right] \\ &=&\left[ \begin{array}{cc} \cos(\theta) & \sen(\theta) \\ -\frac{1}{r}\sen(\theta) & \frac{1}{r}\cos(\theta) \end{array} \right] \end{eqnarray*}
Por otro lado, directamente de la definición de la matriz de derivadas parciales \begin{eqnarray*} D_{(x,y)}F^{-1}=\left[ \begin{array}{cc} \partial_x r & \partial_y r \\ \partial_x \theta & \partial_y \theta \end{array} \right] \end{eqnarray*} asi que igualando las entradas de las matrices obtenemos \begin{eqnarray*} \partial_x r &=& \cos(\theta) \\ \partial_y r &=& \sen(\theta) \\ \partial_x \theta &=& -\frac{1}{r}\sen(\theta) \\ \partial_y \theta &=& \frac{1}{r}\cos(\theta) \end{eqnarray*}
Ahora, usando diferenciación implícita calculamos las derivadas de segundo orden de $r$: \begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 r}{\partial x^2} &=& \frac{\partial}{\partial x} \left( \cos(\theta) \right)=-\sen(\theta)\frac{\partial \theta}{\partial x}=\frac{1}{r} \sen^2(\theta)\\ \frac{\partial^2 r}{\partial y^2} &=& \frac{\partial}{\partial y} \left( \sen(\theta) \right) = \cos(\theta)\frac{\partial \theta}{\partial y}=\frac{1}{r} \cos^2(\theta) \\ \end{eqnarray*} las de $\theta$ cuestan un poco más de trabajo \begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 \theta}{\partial x^2} &=& \frac{\partial}{\partial x} \left( -\frac{1}{r}\sen(\theta) \right)\\ &=& \frac{1}{r^2}\cos(\theta)\sen(\theta) +\frac{1}{r^2}\cos(\theta)\sen(\theta) \\ &=& \frac{2}{r^2}\cos(\theta)\sen(\theta) \\ \frac{\partial^2 \theta}{\partial y^2} &=& \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{1}{r}\cos(\theta) \right)v \\ &=& -\frac{1}{r^2}\sen(\theta)\cos(\theta) - \frac{1}{r^2}\sen(\theta)\cos(\theta) \\ &=& -\frac{2}{r^2}\sen(\theta)\cos(\theta) \end{eqnarray*}
Ahora por la regla de la cadena \[ \frac{\partial f}{\partial x}= \frac{\partial f}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial x} \] \[ \frac{\partial f}{\partial y}= \frac{\partial f}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial y} \]
Ahora, tomando las segundas derivadas parciales y aplicando la regla del producto obtenemos \begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}&=& \frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{\partial f}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial x} \right) \\ &=& \frac{\partial f}{\partial r} \frac{\partial^2 r }{\partial^2 x} + \frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial f}{\partial r} \right)\\ &+& \frac{\partial f}{\partial \theta} \frac{\partial^2 \theta}{\partial^2 x} + \frac{\partial \theta}{\partial x} \frac{\partial }{\partial x} \left( \frac{\partial f}{\partial \theta} \right) \end{eqnarray*} de nuevo por regla de la cadena calculamos las derivadas mixtas en la expresion anterior: \begin{eqnarray*} \frac{\partial }{\partial x} \left( \frac{\partial f}{\partial r} \right)= \frac{\partial^2 f}{\partial^2 r} \frac{\partial r}{\partial x}+ \frac{\partial^2 f}{\partial \theta \partial r} \frac{\partial \theta}{\partial x} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \frac{\partial }{\partial x} \left( \frac{\partial f}{\partial \theta} \right)= \frac{\partial^2 f}{\partial^2 \theta} \frac{\partial \theta}{\partial x}+ \frac{\partial^2 f}{\partial r \partial \theta} \frac{\partial r}{\partial x} \end{eqnarray*}
Substituyendo estas expresiones en $\frac{\partial^2 f}{\partial^2 x}$ obtenemos \begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 f}{\partial^2 x} &=& \frac{\partial f}{\partial r} \frac{\partial^2 r }{\partial^2 x} + \frac{\partial^2 f}{\partial^2 r}\left( \frac{\partial r}{\partial x} \right)^2 + \frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial^2 f}{\partial \theta \partial r} \frac{\partial \theta}{\partial x} \\ &+&\frac{\partial f}{\partial \theta} \frac{\partial^2 \theta}{\partial^2 x} + \frac{\partial^2 f}{\partial^2 \theta}\left( \frac{\partial \theta}{\partial x} \right)^2 +\frac{\partial \theta}{\partial x} \frac{\partial^2 f}{\partial r \partial \theta} \frac{\partial r}{\partial x} \end{eqnarray*}
De manera similar obtenemos \begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 f}{\partial^2 y} &=& \frac{\partial f}{\partial r} \frac{\partial^2 r }{\partial^2 y} + \frac{\partial^2 f}{\partial^2 r}\left( \frac{\partial r}{\partial y} \right)^2 + \frac{\partial r}{\partial y}\frac{\partial^2 f}{\partial \theta \partial r} \frac{\partial \theta}{\partial y} \\ &+&\frac{\partial f}{\partial \theta} \frac{\partial^2 \theta}{\partial^2 y} + \frac{\partial^2 f}{\partial^2 \theta}\left( \frac{\partial \theta}{\partial y} \right)^2 +\frac{\partial \theta}{\partial y} \frac{\partial^2 f}{\partial r \partial \theta} \frac{\partial r}{\partial y} \end{eqnarray*}
Veamos los coeficientes de cada parcial de $f$ en el Laplaciano.
Para $\frac{df}{dr}$ tenemos que el coeficiente es \[ \frac{\partial^2 r }{\partial^2 x} + \frac{\partial^2 r }{\partial^2 y} = \frac{1}{r}\sen^2(\theta) + \frac{1}{r}\cos^2(\theta)=\frac{1}{r} \]
Para $\frac{\partial^2 f}{\partial^2 r}$ el coeficiente es \[ \left( \frac{\partial r}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial r}{\partial y} \right)^2 = \cos^2(\theta) + \sen^2(\theta)=1 \]
Para $\frac{\partial^2 f}{\partial^2 \theta}$ el coeficiente es \[ \left( \frac{\partial \theta}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial \theta}{\partial y} \right)^2 = \frac{1}{r^2}\sen^2(\theta) + \frac{1}{r^2}\cos^2(\theta)=\frac{1}{r^2} \]
Para $\frac{\partial^2 f}{\partial r \partial \theta}$ el coeficiente es \[ 2\frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial \theta}{\partial x} + 2\frac{\partial r}{\partial y}\frac{\partial \theta}{\partial y} = -2\frac{1}{r}\cos(\theta)\sen(\theta) + 2\frac{1}{r}\sen(\theta)\cos(\theta)=0 \] por lo que no aparece en el Laplaciano.
Finalmente, para $\frac{\partial f}{\partial \theta}$ el coeficiente es \[ \frac{\partial^2 \theta}{\partial^2 x} + \frac{\partial^2 \theta}{\partial^2 y} = \frac{2}{r^2}\cos(\theta)\sen(\theta) - \frac{2}{r^2}\sen(\theta)\cos(\theta)=0 \] por lo que tampoco aparece en el Laplaciano.
Concluyendo, el Laplaciano de $f$ en coordenadas polares se calcula como \[ \Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial^2 r} + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial^2 \theta} \]
Para todo $\mathbf{v}\in \mathbb{R}^n$ exsite $\mathbf{u}\in \mathbb{R}^n$ con $\|\mathbf{u}\|=1$ tal que $\|\mathbf{v}\|=\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}$.
Si \(\mathbf{v}=0\) cualquier \(\mathbf{u}\) sirve. Si \(\mathbf{v}\ne 0\) tomar \(\mathbf{u}=\frac{1}{\|\mathbf{v} \|}\mathbf{v}\).
Sea $F=(f_1,\dots, f_m):U\subseteq R^n \to R^m$, una función $C^1$ en $U$ y $\mathbf{p}_0 \in U$.
Para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta=\delta(\varepsilon,\mathbf{p}_0)$ tal que $$ \textrm{si $\|\mathbf{p}-\mathbf{p}_0\|<\delta $ entonces $\| D_{\mathbf{p}}F-D_{\mathbf{p}_0}F \|_2 <\varepsilon$} $$
Denotemos $[a_{i,j}]=D_{\mathbf{p}}F-D_{\mathbf{p}_0}F$. Recordemos que \(\|A\|_2=(\sum_{i,j=1}^na_{i,j}^2)^{1/2}\). Pero tenemos que \(a_{i,j}=\partial_{x_j}f_i(p)-\partial_{x_j}f_i(p_0)\) por lo tanto $$ \| D_{\mathbf{p}}F-D_{\mathbf{p}_0}F\|_2^2 = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^m \left( \frac{\partial f_i (\mathbf{p})}{\partial x_j} - \frac{\partial f_i (\mathbf{p}_0)}{\partial x_j} \right)^2 $$
Usando la continuidad de las parciales, para $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que si $\mathbf{p}\in U$ y $\|\mathbf{p}-\mathbf{p}_0\| < \delta$, entonces para toda $i$ y para toda $j$, $$(\partial_{x_j}f_i(\mathbf{p})-\partial_{x_j}f_i(\mathbf{p}_0))^2 < \varepsilon^2/(nm)$$ ésta $\delta$ es la que sirve.
Sea $F=(f_1,\dots, f_m): U\subset R^n \to R^m$, clase $C^1$, $\mathbf{p}_0\in U$.
Para todo $\varepsilon>0$ existe $\alpha>0$ tal que $$ \textrm{si $\mathbf{v},\mathbf{w}\in B_\alpha(0)$ entonces $\| F(\mathbf{p}_0+v)-F(\mathbf{p_0}+w)-D_{\mathbf{p}_0}F(\mathbf{v}-\mathbf{w})\| \leq \varepsilon \| \mathbf{v}-\mathbf{w}\|$} $$
Por el Lema 14.9 existe $\delta>0$ tal que $$ \textrm{ $\mathbf{p}\in U$ y $ \| \mathbf{p}-\mathbf{p}_0\| <\delta$ } \rightarrow \| D_{\mathbf{p}}F-D_{\mathbf{p}_0}F \|_2 < \varepsilon $$
Tomamos $\alpha= \delta/3 $.
Tomamos $\mathbf{v},\mathbf{w}\in B_\alpha (\mathbf{0})$. Debemos de probar que $$ \| F(\mathbf{p}_0+v)-F(\mathbf{p_0}+w)-D_{\mathbf{p}_0}F(\mathbf{v}-\mathbf{w})\| \leq \varepsilon \| \mathbf{v}-\mathbf{w}\| $$
Por el Lema 14.8 existe $\mathbf{u}\in \mathbb{R}^n$ de norma 1 con \begin{eqnarray*} \| F(\mathbf{p}_0+\mathbf{v})-F(\mathbf{p_0}+\mathbf{w})-D_{\mathbf{p}_0}F(\mathbf{v}-\mathbf{w})\| \\ =\left[ F(\mathbf{p}_0+\mathbf{v})-F(\mathbf{p_0}+\mathbf{w})-D_{\mathbf{p}_0}F(\mathbf{v} -\mathbf{w})\right] \cdot \mathbf{u} \end{eqnarray*}
Ahora definimos $g:[0,1]\to R$ por $$ g(t)=\left[ F(\mathbf{p}_0+t(\mathbf{v}-\mathbf{w})+\mathbf{w}) -D_{\mathbf{p}_0}F(\mathbf{v}-\mathbf{w})\right]\cdot u $$
Notar que $g$ es continua en $[0,1]$ y diferenciable en $(0,1)$. Adem\'as $$ g'(t)=\left[ D_{\mathbf{p}_0+t(\mathbf{v}-\mathbf{w}+\mathbf{w})} (\mathbf{v}-\mathbf{w})\right]\cdot \mathbf{u} $$
Por el T.V.M. exsite $\xi \in (0,1)$ con $g(1)-g(0)=g'(\xi)$.
Sea $\mathbf{p}_1:=\mathbf{p}_0+\xi(\mathbf{v}-\mathbf{w})+\mathbf{w}$. Es importante notar que $\| \mathbf{p}_1 - \mathbf{p}_0 \| < \delta$ por lo que $\| D_{\mathbf{p}_1}F-D_{\mathbf{p}_2}F\|_2 < \varepsilon$.
Como \begin{eqnarray*} g(0)=\left[ F(\mathbf{p}_0+\mathbf{w})-D_{\mathbf{p}_0}F(\mathbf{v}-\mathbf{w}) \right] \cdot \mathbf{u} \\ g(1)=\left[ F(\mathbf{p}_0+\mathbf{v})-D_{\mathbf{p}_0}F(\mathbf{v}-\mathbf{w}) \right] \cdot \mathbf{u} \end{eqnarray*} substituyendo en $g(1)-g(0)=g'(\xi)$ se concluye $$ [ F(\mathbf{p}_0+\mathbf{v})- F(\mathbf{p}_0+\mathbf{v}) - D_{\mathbf{p}_0}(\mathbf{v}-\mathbf{w}) ] \cdot \mathbf{u} = [ D_{\mathbf{p}_1}F(\mathbf{v}-\mathbf{w})-D_{\mathbf{p}_0}F(\mathbf{v}-\mathbf{w})]\cdot \mathbf{u} $$
Usando la definición de $u$ y la desigualdad de Cauchy-Schwartz se tiene \begin{eqnarray*} & &\| F(\mathbf{p}_0+\mathbf{v})- F(\mathbf{p}_0+\mathbf{v}) - D_{\mathbf{p}_0}(\mathbf{v}-\mathbf{w}) \| \\ & \leq & \| D_{\mathbf{p}_1}F(\mathbf{v}-\mathbf{w}) - D_{\mathbf{p}}F(\mathbf{v}-\mathbf{w}) \|\\ & \leq & \| D_{\mathbf{p}_1}F - D_{\mathbf{p}_0} \|_2 \|\mathbf{v}-\mathbf{w} \| \\ &< & \varepsilon \|\mathbf{v}-\mathbf{w} \| \end{eqnarray*}
Sea $g:B_r(\mathbf{0}) \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ clase $C^1$ tal que
Entonces, para todo $\mathbf{q}\in B_{r/2m}(\mathbf{0})$ existe $\mathbf{p}\in B_r(\mathbf{0})$ tal que $g(\mathbf{p})=\mathbf{q}$.
Vamos a definir $p_0=0$ y $q_0=q$.
Por recursión vamos a definir $$ \begin{array}{c | c } B_r(\mathbf{0}) & B_{1/2m}(\mathbf{0}) \\ \hline p_1:=L^{-1}(q_0)+p_0 & q_1:=q_0+g(p_0)-g(p_1) \\ p_2:=L^{-1}(q_1)+p_1 & q_2:= q_1+g(p_1)-g(p_2) \\ \vdots & \vdots \\ p_n:= L^{-1}(q_{n-1})+p_{n-1} & q_n=q_{n-1}+g(p_{n-1})-g(p_n) \\ p_{n+1}=L^{-1}(q_n)+p_n & q_{n+1}=q_{n}+g(p_n)-g(p_{n+1}) \end{array} $$
Para que las sucesiones estén bien definidas debemos de probar que $p_n \in B_r(\mathbf{0})$ y $q_n \in B_{1/2m}(\mathbf{0})$. Para esto se va a probar
Caso $k=1$.
Para el primero debemos de probar $\| p_1-p_0 \| \leq m \| q\|$. Pero \begin{eqnarray*} \| p_1-p_0\| =\|p_1\|=\| L^{-1}(q_0)+p_0\|=\| L^{-1}(q)\| \leq m \|q\|. \end{eqnarray*}
Para el segundo tenemos, por la hipótesis \begin{eqnarray*} \| q_1\|&=&\| q_0 + g(p_0)-g(p_1)\| \\ &=& \| L(p_1-p_0)+g(p_0)-g(p_1)\| \\ &\leq & \frac{1}{2m}\| p_1-p_0\| \\ &=& \frac{1}{2m}\|p_1\| \\ &\leq & \frac{m\|q\|}{2m} \\ &=&\frac{\|q\|}{2} \end{eqnarray*}
Caso $k+1$. Suponemos para $k$ y probamos para $k+1$.
Para la primer parte \begin{eqnarray*} \| p_{k+1}-p_k\| = \| L^{-1}(q_k)\| \leq m \| q_k\| \leq m \frac{\|q\|}{2^k} \end{eqnarray*}
Para la segunda parte \begin{eqnarray*} \|q_{k+1}\|&=& \| q_k + g(p_k)-g(p_{k+1})\| \\ &=& \| L^{-1}(p_{k+1}-p_k)+g(p_k-g(p_{k+1})) \\ &\leq & \frac{1}{2m} \| p_{k+1}-p_k\| \\ &\leq& \frac{1}{2m} \frac{m\|q\|}{2^k}=\frac{\|q\|}{2^{k+1}} \end{eqnarray*} Esto acaba la inducción.
La condición sobre las $q_k$ implica que para toda $k$, $q_k \in B_{1/2m}(\mathbf{0})$.
De la condición para las $p_k$ se tiene que \begin{eqnarray*} \|p_k\|&=& \| p_k - p_0\| \leq \|p_k - p_{k-1}\|+ \| p_{k-1}-p_{k-2}\| + \cdots + \| p_1-p_0\| \\ &\leq & \sum_{j=0}^{k-1} \frac{m\|q\|}{2^j} \\ &<& m \| q\| \sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{2^j}=2m \|q\| < 2m (\frac{r}{2m})=r \end{eqnarray*}
Como $p_k \in Br(\mathbf{0})$, para toda $k$, por Bolzano-Weirestrass exsite una sunsucesión $(p_{k_n})_{n\geq 1}$ y $p\in R^n$ tal que $\lim_n p_{k_n}=p$. Notar que $\|p_k\| \leq 2m\|q\|$ al tomar límite se tiene $\|p\|\leq 2m\|q\|< r$, por lo que $p\in B_r(\mathbf{0})$.
También de la relaciones es claro que $\lim_n q_n =0$.
Ahora, si substituimos las expresiones del lado derecho de la columnas tenemos que $$ q_{n}=q_0-g(p_n) $$ en particular \(q_{k_n}=q_0-g(p_{k_n})\). Tomando límite cuando $n\to \infty$ se concluye que $0=q-g(p)$.
Sea \(U\subseteq \mathbb{R}^n\) un abierto y \(F:U \to \mathbb{R}^n \) una función clase \(C^1\). Si \(p_0\in U\) es un punto donde \(D_{p_0}F\) es invertible entonces existen constantes positivas \(r,c > 0\) tal que \[ c \|v\| \leq \|D_{p}F v \| \] para todo \(v\in \mathbb{R}^n\) y todo \(p\in B_r(p_0)\).
Lo demostramos por contradicción. Suponemos que para todos \(r,c > 0\) existen \(v\in \mathbb{R}^n\) y \(p\in B_r(p_0)\) tal que \[ c\|v\| > \|D_{p}Fv\| \] Tomando valores de la forma \(r=c=1/n \) podemos construir sucesiones \((v_n)_{n=1}^\infty\) y \((p_n)_{n=1}^\infty\) tal que \begin{equation}\label{Eqn:Aux1LemaIyectividadLocal} \frac{1}{n}\|v_n\| > \|D_{p_n}F v_n\| \end{equation} con \(p_n\in B_{1/n}(p_0)\) y ésto último implica que \(\lim_{n\to \infty}p_n=p_0\).
La desigualdad estricta en \eqref{Eqn:Aux1LemaIyectividadLocal} implica que \(\|v_n\| >0\) y por lo tanto tomando \(w_n=\frac{1}{\|v_n\|}v_n\) obtenemos una sucesión \((w_n)_{n=1}^\infty\) contenida en la esfera unitaria y por la linealidad de \(D_{p}F\) satisface \[ \frac{1}{n}> \| D_{p_n}Fw_n\|. \] Ya que la esfera unitaria es compacta por el Teorema de Bolzano-Weirestrass existe un punto \(w\) en la esfera y una subsucesión \((w_{n_k})_{k=1}^\infty\) tal que \(\lim_{k\to \infty} w_{n_k}=w\).
Escribiendo la desigualdad en términos de coordenadas, \(F=(f_1,\dots, f_n)\), con \(v[i]\) denotando la entrada del vector \(v\), obtenemos \begin{eqnarray*} \frac{1}{n_k} >\sqrt{\sum_{i=1}^n \left( \sum_{j=1}^n\partial_{x_j}f_i(p_{n_k})w_{n_k}[j]\right)^2} \geq 0 \end{eqnarray*}
Usando que las parciales son continuas, tomando límite cuando \(k\to \infty\) en la desigualdad anterior llegamos a \begin{eqnarray*} 0\geq \sqrt{\sum_{i=1}^n \left( \sum_{j=1}^n\partial_{x_j}f_i(p_{0})w[j]\right)^2}\geq 0 \end{eqnarray*}
Lo cual se puede traducir como \(\|D_{p_0}F w\| =0\) lo cual implica \(D_{p_0}Fw=0\). Ahora al ser \(D_{p_0}F\) invertible lo anterior implica \(w=0\) pero ésto es una contradicción pues \(w\) es un punto en la esfera unitaria.
Sea \(U\subseteq \mathbb{R}^n\) un abierto y \(F:U \to \mathbb{R}^n \) una función clase \(C^1\). Si \(p_0\in U\) es un punto donde \(D_{p_0}F\) es invertible entonces existen constantes \(s,d > 0\) tal que \[ d \|p_1-p_2\| \leq \|F(p_1)-F(p_2) \| \] todos \(p_1,p_2 \in B_s(p_0)\).
En particular \(F\) es inyectiva en \(B_s(p_0)\).
Por el Lema 14.12 existen constantes positivas \(r,c>0\) tales que \begin{equation}\label{Eqn:CotaAbajoDerivada} c\|u\| \leq \|D_{p}Fu\| \end{equation} para todo \(u \in \mathbb{R}^n\) y todo \(p_1,p_2\in B_r(p_0)\).
Por la Proposición 14.10 existe una constante positiva \(\alpha >0\) tal que \[ \| F(p_0+v)-F(p_0+w) - D_{p_0}F(v-w)\| < \frac{c}{2}\| v-w\| \] para todos \(v,w\) con \(\|v\|<\alpha, \|w\| < \alpha\).
Por la otra desigualdad del triángulo \begin{eqnarray*} \left| \|F(p_0+v)-F(p_0+w) \| - \|D_{p_0}(v-w) \| \right| \\ \leq \| F(p_0+v)-F(p_0+w) - D_{p_0}F(v-w)\| \end{eqnarray*} y de las dos últimas desigualdades se sigue que \begin{eqnarray*} -\frac{c}{2}\|v-w\| \leq \|F(p_0+v)-F(p_0+w) \| - \|D_{p_0}F(v-w) \| \\ \Rightarrow \|D_{p_0}F(v-w)\| - \frac{c}{2}\| v-w\| \leq \|F(p_0+v)-F(p_0+w)\| \end{eqnarray*} pero por \eqref{Eqn:CotaAbajoDerivada} lo anterior implica \begin{eqnarray*} \frac{c}{2}\|v-w\| &=& c \|v-w\| - \frac{c}{2}\|v-w\| \\ & \leq & \|D_{p_0}F(v-w)\| - \frac{c}{2}\| v-w\| \\ & \leq & \|F(p_0+v)-F(p_0+w)\| \end{eqnarray*} Ya que \(v\) y \(w\) son arbitrarios el resultado se obtiene tomando las constantes \(s=\min\{\alpha, r\}\) y \(d=c/2\).
Sea $F:U \subseteq R^n \to R^n$, clase $C^1$ en $U$ y $\mathbf{p}_0 \in U$ tal que $D_{\mathbf{p}_0}F$ sea invertible. Entonces existen $\alpha>0$ y $\beta >0$ tal que satisface:
para todo $q\in B_\beta(F(\mathbf{p}_0))$ existe $p \in B_\alpha(\mathbf{p_0})$ tal que $F(p)=q$.
Sea $L=D_{\mathbf{p}_0}F$ y $m:=\|L^{-1}\|$. Usando el Lema para $\varepsilon=\frac{1}{2m}$ existe un $\alpha >0$ tal que, para $v,w \in B_\alpha (\mathbf{0})$ $$ \| F(p_0+v)-F(p_0+w)-D_{p_0}F(v-w)\| \leq \frac{1}{2m}\| v-w\| $$
Definimos $g:B_\alpha(\mathbf{0}) \to R^n$ por $g(v)=F(p_0+v)-F(p_0)$.
Entonces
Por la Proposición 14.11 para $w=q-F(p_0) \in B_{1/2m}(\mathbf{0})$, exsite $v\in B_\alpha(0)$ tal que $g(v)=w$, es decir $F(p_0+v)-F(p_0)=q-F(p_0)$ por lo que $F(p_0+v)=q$. Se toma $p=p_0+v$.
Sea $F:U \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ tal que $D_pF$ es invertible para todo $p\in U$. Entonces $F(U)\subseteq R^n$ es abierto en $R^n$.
Sea $F(p_0)\in F(U)$. Por el teorema de solubilidad local, existe $\alpha>0$ y $\beta>0$ tal que, para todo $q\in B_\beta(F(p_0))$ existe $p\in B_\alpha(p_0)$ tal que $F(p)=q$. Esto quiere decir que $B_\beta(F(p_0)) \subseteq F(U)$.
Sea $U$ un abierto de $\mathbb{R}^n$ y $F:U\to \mathbb{R}^n$ una función de clase $C^1$ en $U$.
Sea $\mathbf{p}_0\in U$ y supongamos que la derivada de $F$ en $\mathbf{p}_0$, denotada $D_{\mathbf{p}_0}F$, es invertible.
Entonces existe $W$, una vecindad de $\mathbf{p}_0$, tal que $F(W)$ es una vecindad abierta de $F(\mathbf{p}_0)$ donde se cumple:
Por el Lema 14.12 existen constantes positivas \(r,c>0\) con \[ c\|v\| \leq \|D_pFv\| \] para todo \(v\in \mathbb{R}^n\) y todo \(p\in B_r(p_0)\). Lo anterior implica que \(D_pF\) es invertible para todo \(p\in B_r(p_0)\). Razón: si \(D_pFv=0\) la desigualdad anterior implica que \(\|v\|=0\), es decir \(v=0\). Ahora ya que \(D_pF\) tiene kernel cero y es una matriz de \(n\times n\) ésto implica que es invertible.
Por la Proposición 14.13 existen constantes positivas \(s,d>0\) con \[ d\|p_1-p_2\|\leq \|F(p_1)-F(p_2)\| \] para todos \(p_1,p_2\in B_s(p_0)\).
Sea \(t=\min\{r,s\}\) la cual combina la inyectibilidad \(F\) y la invertibilidad de \(D_pF\). Para el abierto \(W\) tomamos \(W=B_t(p_0)\). Ya que \(D_pF\) es invertible para todo \(p\in B_t(p_0)\) se sigue de Teorema del mapeo abierto que \(F(W)\) es un conjunto abierto abierto. Definimos \(V=F(W)\). Nota que por la Proposición 14.13 \(F\) es inyectiva en \(B_t(p_0)\) y por lo tanto \(F\) es una biyección entre \(W\) y \(V\) y por lo tanto existe su inversa bajo composición. Denotemos por \(G\) a la inversa de \(F\).
Nota: tenemos que \(F:W\to V\) y \(G:V\to W\); a los puntos de \(W\) los vamos a denotar por \(p's\) y a los de \(V\) por \(q's\).
Lo que resta probar es que \(G\) es continua en todo punto de \(V\) y para probarlo empezamos con la desigualdad \[ d\|p_1-p_1\| \leq \|F(p_1)-F(p_2)\| \] válida para todos \(p_1,p_2\in B_t(p_0)=W\). Denotando \(q_1=F(p_1),q_2=F(p_2)\in V\) también obtenemos que \(G(q_1)=p_1, G(q_2)=p_1\) la desigualdad anterior se puede reescribir como \[ \|G(q_1)-G(p_2) \| \leq \frac{1}{d}\|q_1-q_2\| \] y al ser \(G\) biyección entre \(v\) y \(W\) la desigualdad anterior es válida para todos \(q_1,q_2\in V\). Finalmente notamos que la desigualdad anterior implica que \(G\) es continua (es más, uniformemente continua) en todo punto de \(V\) (dada \(\varepsilon> 0\) se toma \(\delta=d \varepsilon\)).
Sea $U$ un abierto de $\mathbb{R}^n$ y $F:U\to \mathbb{R}^n$ una función de clase $C^1$ en $U$.
Sea $\mathbf{p}_0\in U$ y supongamos que la derivada de $F$ en $\mathbf{p}_0$, denotada $D_{\mathbf{p}_0}F$, es invertible.
Por la proposición anterior existe \(W\) una vecindad abierta de \(p_0\) tal que \(V:=F(W)\) es una vecindad abierta de \(F(p_0)\) y tal que \(F\) es una biyección entre \(W\) y \(V\). Sea \(G\) la inversa bajo composición de \(F\) también por la proposición anterior \(G\) es continua. Lo que resta probar es que \(G\) es diferenciable en todo punto de \(V\).
Nota: a los puntos de \(W\) los denotaremos por letras \(p\)'s y a los puntos de \(V\) por \(q\)'s. Ya que \(F\) es una biyección entre \(W\) y \(V\) para todo \(q\in V\) existe un único \(p\in V\) tal que \(F(p)=q\) ó equivalentemente \(G(q)=p\).
Fijemos \(q _1\in V\). Debemos de probar que \(G\) es diferenciable en \(q_1\) y para lo cual se probará que tiene una aproximación lineal.
Al ser \(F\) diferenciable en \(p_1\) podemos escribir \[ F(p)=F(p_1)+ D_{p_1}F(p-p_1)+E(p) \] donde \(\lim_{p\to p_1} \frac{\|E(p)\|}{\| p-p_1\|}=0\).
Sea \(M\) la matriz inversa de \(D_{p_0}F\). Si multiplicamos la identidad anterior por \(M\) llegamos a \begin{eqnarray*} MF(p)=MF(p_1)+(p-p_1)+ M E(p) \end{eqnarray*} usando que \(F(p)=q, p=G(q)\) lo anterior se reescribe como \begin{eqnarray*} Mq=Mq_1+(G(q)-G(q_1))+ M E(G(q)) \\ \Rightarrow G(q)=G(q_1)+M(q-q_1)+ME(G(q)) \end{eqnarray*} Si logramos probar que \(\lim_{q\to q_1}\frac{\|ME(G(q))\|}{\|q-q_1\|}=0\) habremos terminado pues estaremos probando que \(G\) admite una aproximación lineal en \(q_1\). Además \(D_{q_1}G=M=(D_{p_1}F)^{-1}\).
Ahora, para el error tenemos \begin{eqnarray*} \frac{\|ME(G(q))\|}{\| q-q_1\|}&\leq & \|M\|_2 \frac{\|E(G(q))\|}{\|q-q_1\|} \\ &=& \|M\|_2 \frac{\|E(p)\|}{\|p-p_1\|}\frac{\|p-p_1\|}{\|F(p)-F(p_1) \|} \end{eqnarray*} Por la proposición 14.13, existe \(d>0\) tal que si \(p\) está cerca de \(p_1\) entonces \(d\|p-p_1\| \leq \|F(p)-F(p_1)\|\). Si \(p\neq p_1\) se sigue que \( \frac{\|p-p_1\|}{\|F(p)-F(p_1)\| } \leq \frac{1}{d}\).
Se sigue que \begin{eqnarray*} \frac{\|ME(G(q))\|}{\| q-q_1\|}&\leq & \|M\|_2 \frac{\|E(G(q))\|}{\|q-q_1\|} \\ &=& \|M\|_2 \frac{\|E(p)\|}{\|p-p_1\|}\frac{\|p-p_1\|}{\|F(p)-F(p_1) \|} \\ &\leq & \|M\|_2 \frac{1}{d}\frac{\|E(p)\|}{\|p-p_1\|} \end{eqnarray*} Finalmente si \(q\to q_1\) entonces por continuidad de \(G\) \(p\to p_1\) y entonces \[ 0\leq \lim_{q\to q_1} \frac{\|ME(G(q))\|}{\| q-q_1\|} \leq \|M\|_2 \frac{1}{d}\lim_{p\to p_1} \frac{\|E(p)\|}{\|p-p_1\|}=0 \]
Considera la función $F:\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\} \to \mathbb{R}^2$ dada por $$F(x,y)=\left(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, \frac{2xy}{x^2+y^2} \right)$$
Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función de clase $C^1$. Define $F:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ dada por $$F(x,y)=(f(x), xf(x)-y).$$
Si $f'(x_0)\ne 0$ demuestra que $F$ tiene una inversa local cerca de $(x_0,y_0)$ (donde $y_0$ es arbitrario). Además, prueba que ésta inversa está dada por $$F^{-1}(u,v)=(f^{-1}(u),uf^{-1}(u)-v).$$
Sea $F:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ una función. ¿ Es cierto que si, $F$ es diferenciable en $p_0$ y $F$ admite una inversa diferenciable, entonces $D_{p_0}F$ es inyectiva?
Considera la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por $$ f(x)=\left\{ \begin{array}{cc} x+2x^2\sen(1/x) & x\ne 0 \\ 0 & x=0 \end{array} \right. $$ En este caso recuerda que $D_0f$ es simplemente $f'(0)$ y que la condición de que $D_0f$ sea inyectiva simplemente se traduce a $f'(0)\ne0$.
Prueba que $f'(0)$ existe, es distinta de cero, pero sin embargo, $f$ no es invertible cerca de $x=0$.
¿ Contradice esto el teorema de la función inversa?
Considera la función $F(x,y)=(x^4+2xy+3,y)$ y considera las ecuaciones \begin{eqnarray*} x^4+2xy+3&=&u \\ y&=&v\\ \end{eqnarray*}
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