Cálculo TRES

§ 4

Geometría de funciones

Definición

Dada una función $f:D \to \mathbb{R}$, el conjunto de nivel, correspondiente al valor $c\in \mathbb{R}$, es el conjunto $$ N_c(f)=N_c=\{ p\in D: f(p)=c \} $$ Si $D\subseteq \mathbb{R}^2$ los conjuntos de nivel se llaman curvas de nivel y si $D\subseteq \mathbb{R}^3$ se llaman superficies de nivel.

Ejercicio

Para las siguientes funciones, describe los conjuntos de nivel para los valores dados.

  1. $f(x,y)=x^2+y^2$, $c=-1,0,1.$
  2. $f(x,y)=2x^2+4y^2$, $c=-2,0,2$.
  3. $f(x,y)=x^2-y^2$, $c=-3,0,3$.
  4. $f(x,y)=5x+7y$, $c=-5,0,7$.
  5. $f(x,y)=(x+y)^2$, $c=-4,0,4$.
  6. $f(x,y)=(2x-y)^2$, $c=-1,0,2$.
  7. $f(x,y)=y+\log(x^2)$, $c=-3,0,3$.
  8. $f(x,y)=y+3e^x$, $c=-2,0,2$.
  9. $f(x,y)=\min\{|x|,|y| \}$, $c=0,1,2$.

Ejercicio

Para las siguientes funciones, describe los conjuntos de nivel para los valores dados.

  1. $f(x,y,z)=x^2+y^2$, $c=-1,0,1$.
  2. $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$, $c=-1,0,1$.
  3. $f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2$, $c=-2,0,2$.
  4. $f(x,y,z)=xyz$, $c=-4,0,4$.
  5. $f(x,y,z)=\log(x)+\log(y)+\log(z)$, $c=-4,0,4.$
  6. $f(x,y,z)=e^{x^2}e^{y^2}e^{z^2}$, $c=-5,0,5$.
  7. $f(x,y,z)=\max\{ |x|, |y|, |z| \}$, $c=-2,0,2$.
  8. $f(x,y,z)=2x-y+3z$, $c=-1,0,1$.

Ejercicio

Usa coordenadas polares para describir las curvas de nivel de la función dada por $$ f(x,y)=\left\{ \begin{array}{cc} \frac{2xy}{x^2+y^2} & (x,y)\ne (0,0)\\ 0 & (x,y)=(0,0). \end{array} \right. $$

Ejercicio

Construye una función $f(x,y)$, tal que el conjunto de nivel para $c=1$ consiste en dos "piezas".

Ejercicio

Construye una función $f(x,y)$, tal que el conjunto de nivel para $c=0$ consiste en una cantidad infinita de "piezas".

Definición

Una función $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ se llama convexa si $$f( tp+(1-t)q ) \leq tf(p)+(1-t)f(q),$$ para todos $p,q \in \mathbb{R}^n$ y todo $t \in [0,1]$.

Por ejemplo, en cálculo uno-dimensional, se prueba que si $f: I \to \mathbb{R}$ (donde $I$ es un intervalo) es diferenciable y $f''(x)>0$ para todo $x\in I$, entonces $f$ es convexa.

Una curva $C\subset \mathbb{R}^2$ se llama convexa si, para todos $p,q\in C$, el segmento que une $p$ con $q$ queda por arriba del segmento de $C$ que va de $p$ a $q$.

Ejercicio

Una función de producción tipo Cobb-Douglas, en dos dimensiones, es una función de la forma $f(x,y)=x^\alpha y^\beta$, donde $x,y \geq 0$ y $0<\alpha, \beta$. Para $c>0$ considera la curva de nivel $$ C=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2: x, y > 0, x^\alpha y^\beta =c\}. $$

Este ejercicio demuestra que $C$ es una curva convexa.

  1. Demuestra que, para todo $(x,y)\in C$, $y=\frac{c^{1/\beta}}{x^{\alpha/\beta}}$.
  2. Demuestra que la función $g(s)=\frac{1}{s^{\alpha / \beta}}$, $s >0$, es convexa.
  3. Demuestra que $C$ es una curva convexa.

    Sugerencia: Toma $(x_1,y_1), (x_2,y_2)\in C$ y sin pérdida de generalidad podemos suponer $x_1 < x_2$. Toma $(x,y)\in C$ un punto entre $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ (por lo tanto $x_1 < x < x_2$). Si $t\in [0,1]$ es tal que $x=(1-t)x_1+tx_2$, usando $y=g(x)$ y el ejercicio anterior, demuestra que $y\leq (1-t)y_1+ty_2$.

  1. Sea $(x,y) \in C$, así $x^{\alpha}y^{\beta}=c$. Como $c >0$ entonces necesariamente $x>0$ y por hipótesis $\beta>0$, por lo que se puede despejar y tomar la $\beta$-ésima raíz para obtener $y=\frac{c^{1/\beta}}{x^{\alpha/\beta}}$.
  2. Para demostrar este inciso apelamos a los resultados de Cálculo I, evidentemente la función $g(s)$ es dos veces diferenciable en el dominio $s > 0$ y su segunda derivada es \begin{equation*} g''(s)=\frac{\alpha (\alpha + \beta) s^{-\alpha /\beta - 2}} {\beta ^2}, \end{equation*} el denominador es positivo, $s>0$ y tanto $\alpha$ como $(\alpha + \beta)$ son positivos, por lo que la segunda derivada es positiva en todo su dominio y por lo tanto $g(s)$ es convexa.
  3. Tomamos $(x_1,y_1),(x_2,y_2) \in C$ y podemos suponer SPG que $x_1 < x_2$ Tomemos un punto intermedio $(x,y) \in C$, de manera que $x_1 < x < x_2$ y $x$ se puede escribir como \begin{equation*} x = tx_1 + (1-t)x_2, \end{equation*} para algún $t \in [0,1]$. Por la convexidad de la función $g(s)$ se tiene que \begin{equation*} g(x) = g(tx_1 + (1-t)x_2) \leq tg(x_1) + (1-t)g(x_2), \end{equation*} dado que $c^{1/\beta}>0$ se preserva el orden al multiplicar las expresiones de ambos lados de la desigualdad \begin{equation*} c^{1/\beta}g(x) \leq t c^{1/\beta}g(x_1) + (1-t)c^{1/\beta}g(x_2), \end{equation*} que no es otra cosa que \begin{equation*} y \leq t y_1 + (1-t)y_2, \end{equation*} es decir, $C$ es una curva convexa.

Ejercicio

Sea $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función convexa. Por $C$ denotamos su gráfica, es decir $$ C=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: y=g(x)\}. $$ Demuestra que si $g$ es una función convexa entonces $C$ es una curva convexa.

Supongamos que $g$ es una función convexa. Tomemos $(x_1,y_1),(x_2,y_2) \in C$, supongamos sin pérdida de generalidad que $x_1 < x_2$ y consideremos un punto intermedio $(x,y) \in C$, es decir, $x_1 < x < x_2$ de manera que $x$ se puede escribir de la forma $x = tx_1 + (1-t)x_2$ para algún $t \in [0,1]$. Como $y = g(x)$ entonces por la convexidad de $g$ se tiene que \begin{equation*} y = g(x) \leq tg(x_1) + (1-t)g(x_2) = t y_1 + (1-t)y_2, \end{equation*} que era la desigualdad buscada.

Definición

Una trayectoria parametrizada en \(\mathbb{R}^n\) es una función $\gamma:I \to \mathbb{R}^n$, donde $I \subseteq \mathbb{R}$ es un intervalo. Dada una trayectoria $\gamma$ la curva generada por \(\gamma\) es el conjunto de puntos $$ \{ \gamma(t): t\in I\} \subseteq \mathbb{R}^n. $$

Ejercicio

Para cada una de las siguientes trayectorias, da un bosquejo de la curva que generan.

  1. $\gamma(t)=(\cos(t), \sen(t))$, $t\in \mathbb{R}$.
  2. $\gamma(t)=(\cos(t), \sen(t), t)$, $t\in \mathbb{R}$.
  3. $\gamma(t)=(t,t^2)$, $t\in \mathbb{R}$.
  4. $\gamma(t)=(\cos(t), \sen(t), e^t)$, $t\in \mathbb{R}$.
  5. $\gamma(t)=2(\sen(\pi/4)\cos(t), \sen(\pi/4)\sen(t), \cos(\pi/4))$, $t\in \mathbb{R}$.

Definición

Un campo vectorial en $\mathbb{R}^n$ es una función $F:D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$. Para visualizar un campo vectorial se dibuja, para $p\in D$, el vector $F(p)$ anclado en $p$.

Ejercicio

Dibuja cada uno de los siguientes campos vectoriales.

  1. $F(x,y)=(x,y)$, $(x,y)\in \mathbb{R}^2$,
  2. $F(x,y)=\frac{1}{\|(x,y)\|}(x,y)$, $(x,y) \ne (0,0)$.
  3. $F(x,y)=(-y,x)$, $(x,y)\in \mathbb{R}^2$.
  4. $F(x,y,z)=\frac{-1}{\|(x,y,z)\|^3}(x,y,z)$, $(x,y,z)\ne (0,0,0)$.

Ejercicio

La fuerza de gravedad sobre una particula $p\in \mathbb{R}^3$, ejercida por una masa en el origen, es un multiplo negativo del campo vectorial $$ G(p)=\frac{1}{\|p\|^3}p, \quad p\ne 0. $$ Fija un punto $p_0\ne 0$ y considera puntos cercano a $p_0$, los cuales expresamos de la forma $p=p_0+u$, donde $u$ se piensa como un vector de norma pequena. Para dichos puntos consideramos dos aproximaciones de $G$ $$ G_1(p)=G(p_0+u)=G(p_0)+L_1(u) $$ con $L_1(u)=\frac{1}{\|p_0\|^3}u $ y $$ G_2(p)=G(p_0+u)=G(p_0)+ L_2(u) $$ con $L_2(u)=\frac{1}{\|p_0\|^2}u-\frac{3}{\|p_0\|^5} \langle p_0,u \rangle p_0$.

  1. Demuestra que $L_1$ y $L_2$ son funciones lineales.
  2. Toma $p_0=(1,0,0)$ y $u=(\varepsilon,0,0)$, para $\varepsilon >0$. Muestra que los errores relativos son $$ \frac{\|G(p)-G_1(p)\| }{\| G(p)\|} = 3\varepsilon^2+3\varepsilon+\varepsilon^3, \quad \frac{\|G(p)-G_2(p)\| }{\| G(p)\|} =\varepsilon^3 $$