Teoremas Principales
Notación
-
Dados $p,q\in \mathbb{R}^n$, por $\langle p,q \rangle$, denotamos el producto interior o el producto
punto de los dos vectores.
-
Dado $p\in \mathbb{R}^n$, por $\|p\|$ denotamos la norma euclideana del vector.
-
Dada una función $f$, en las variables $p_1,\dots, p_n$, por $\partial_{p_i}f$ denotamos
la derivada parcial de $f$, con respecto a $p_i$, siempre y cuanto ésta exista.
-
Dada una función diferenciable $f$, por $D_pf$ y $H_pf$ denotamos la matriz derivada y la matriz
hessiana, de $f$ en el punto $p$, respectivamente.
-
Dada una función diferenciable, con valores reales, por $\nabla_pf$ denotamos a el vector gradiente
de $f$ en $p$, formado por las derivadas parciales de $f$ evaluadas en $p$.
Normas y Topología
Teorema
Dado un producto interior $\langle , \rangle :\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$, la función
$$
\| p\|:= \langle p,p \rangle ^{1/2}
$$
define una norma en $\mathbb{R}^n$.
Teorema
Desigualdad de Cauchy-Schwartz
Dado un producto interior $\langle , \rangle :\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ y $\| \cdot \|$ su
norma inducida, se tiene que
$$
|\langle p, q \rangle| \leq \|p\| \|q\|
$$
para todos $p,q\in \mathbb{R}.$
Teorema
Teorema de Bolzano-Weirestrass
Sea $K$ un subconjunto de $\mathbb{R}^n$, cerrado y acotado. Entonces toda sucesión $(p_n)\subset K$ admite una subsucesión
convergente a un punto de $K$. Es decir, existe $p\in K$ y $(p_{n_k})_{k\geq 1}$ una subsucesión tal que
$$
\lim_{k \to \infty}p_{n_k}=p.
$$
Propiedades de la Derivada
Teorema
Linealidad de la derivada
Sea $U$ un abierto de $R^n$ y $f,g:U \to \mathbb{R}^m$ funciones diferenciables en $p_0\in U$. Sea
$a\in \mathbb{R}$ un escalar. Entonces la función $af+g$ es diferenciable en $p_0$ y
$$
D_{p_0}(af+g)=aD_{p_0}f+D_{p_0}g.
$$
Teorema
Regla de la cadena
Sea $U$ un abierto de $\mathbb{R}^n$ y $V$ un abierto de $\mathbb{R}^m$.
Considera funciones $f:U \to \mathbb{R}^m$, $g:V\to \mathbb{R}^k$
tales que $f(U) \subseteq V$, para que la función composición, $g\circ f$
esté bien definida.
Si $f$ es diferenciable en $p_0\in U$ y $g$ es diferenciable en $f(p_0)\in V$, entonces
la composición, $g\circ f$ es diferenciable en $p_0$ y
$$
D_{p_0}(g\circ f)= D_{f(p_0)}g D_{p_0}f.
$$
Nota: en la ecuación anterior el lado derecho es la multiplicación de matrices.
Teorema
Igualdad de las derivadas mixtas
Sea $U$ un abierto de $\mathbb{R}^2$. Supongamos que las derivadas parciales $\partial_xf, \partial_yf,
\partial_{x,y}f$ existen en todo punto de $U$ y que $\partial_{x,y}f$ es continua en $(x_0,y_0)\in U$.
Entonces la derivada parcial $\partial_{y,x}f$ existe en $(x_0,y_0)$ y
$$\partial_{x,y}f(x_0,y_0)=\partial_{y,x}f(x_0,y_0)$$
Teorema
del valor medio
Sea $U$ un abierto de $\mathbb{R}^n$ y $f:U \to \mathbb{R}$ una función.
Supón que $p,q\in U$ y que $U$ contiene el segmento de línea que une $p$ con $q$.
Si $f$ es diferenciable en todo punto del segmento de línea que una $p$ con $q$, entonces
existe un punto $c\in U$ tal que
$$
f(q)-f(p)=D_cf(q-p).
$$
Teorema de Taylor
Teorema
Taylor de orden 1
Sea $U$ un abierto de $R^n$ y $f:U\to \mathbb{R}$ una función diferenciable en $p_0\in U$. Entonces
$$
f(p_0+h)=f(p_0)+\sum_{j=1}^n h_j \partial_{p_j}f(p_0)+ E_1(p_0,h)
$$
donde $\lim_{h\to 0} \frac{E_1(p_0,h)}{\|h\|}=0$.
Teorema
Taylor de orden 2
Sea $U$ un abierto de $R^n$ y $f:U\to \mathbb{R}$ una función de clase $C^2$ en $U$. Dado $p_0\in U$
entonces
$$
f(p_0+h)=f(p_0)+ \langle h , \nabla_{p_0}f \rangle + \frac{1}{2}\langle h, H_{p_0}f h \rangle+E_2(p_0,h)
$$
donde $\lim_{h\to 0} \frac{E_2(p_0,h)}{\|h\|^2}=0$.
Teorema de la función inversa
Teorema
Solubilidad local
Sea $U\subseteq \mathbb{R}^n$ un abierto y $F:U \to \mathbb{R}^n$ una función de clase $C^1$ en $U$.
Si $p_0\in U$ es tal que $D_{p_0}F$ es invertible entonces existe $r_1, r_2>0$ tales que, para
toda $q\in B_{r_2}(F(p_0))$ existe $p\in B_{r_1}(p_0)$ tal que $F(p)=q$.
Teorema
Del mapeo abierto
Sea $U\subseteq \mathbb{R}^n$ un abierto y $F:U \to \mathbb{R}^n$ una función diferenciable en $U$.
Si $D_PF$ es invertible, para todo $p\in U$, entonces $F(U)\subseteq \mathbb{R}^n$ es abierto en $\mathbb{R}^n$.
Teorema
de la Función Inversa
Sea $U\subseteq \mathbb{R}^p$ un abierto y $F:U\subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ una función de
clase $C^1$ en $U$.
Si $p_0\in U$ es tal que $\det(D_{p_0}F)\ne 0$ entonces, existen abierto $V,W \subseteq \mathbb{R}^n$ tales
que:
- $p_0\in V, F(p_0)\in W$,
- la restricción $F:V \to W$ es una biyección,
- la función inversa $F^{-1}:W \to V$ es diferenciable de clase $C^1$.
Teorema de la Función Implícita
Teorema
de la función implícita, 1 dimensional
Sea $F:\mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}$ una función de clase $C^1$ en $\mathbb{R}^{n+1}$.
Denotamos los puntos en $R^{n+1}$ por $(p,x)$, con $p\in \mathbb{R}^n, x\in \mathbb{R}$.
Supongamos que $(p_0,x_0)$ satisface
\begin{eqnarray*}
F(p_0,x_0)=0, \quad \partial_{x}F(p_0,x_0)\ne 0.
\end{eqnarray*}
Entonces existe $U$ un abierto de $\mathbb{R}^n$, $V$ un abierto de $\mathbb{R}$, una función
$g:U \to V$, tales que
- $p_0\in U$, $x_0 \in V$,
- $F(p,g(p))=0$,
- si $p\in U$ y $x\in V$ satisfacen $F(p,x)=0$ entonces $x=g(p)$,
- $g$ es de clase $C^1$ en $U$,
- para todo $i=1,\dots, n$, $\partial_{p_i}g(p)= \left. -\frac{\partial_{p_i}F}{\partial_{x}F} \right|_{(p,g(p))}$.
Teorema
Supongamos que tenemos $F_1,\dots, F_m:\mathbb{R}^n\times R^{m} \to \mathbb{R}$ funciones de clase $C^1$.
Denotamos los puntos como $(p,x)$, donde $p\in \mathbb{R}^n, x\in \mathbb{R}^m$.
Supongamos que $(p_0, x_0)$ satisface $F(p_0,x_0)=0$ y
\begin{eqnarray*}
\det
\left[
\begin{array}{ccc}
\partial_{x_1}F_1(p_0,x_0) \cdots \partial_{x_m}F_1(p_0,x_0) \\
\vdots \hspace{1cm} \vdots \\
\partial_{x_1}F_m(p_0,x_0) \cdots \partial_{x_m}F_m(p_0,x_0)
\end{array}
\right]\ne 0
\end{eqnarray*}
Entonces, en una vecindad de $(p_0,x_0)$, el sistema de ecuaciones
\begin{eqnarray*}
F_1(p_1,\cdots, p_n, x_1,\dots, x_m)=0, \\
F_2(p_1,\cdots, p_n,x_1,\dots, x_m)=0 \\
\vdots \\
F_m(p_1,\dots, p_n, x_1,\dots, x_m)=0
\end{eqnarray*}
define, de manera única, funciones de clase $C^1$,
$$
x_j=g_j(p_1,\dots, p_n), \quad j=1,\dots, m.
$$
Las derivadas de las funciones $g_j$, se pueden calcular por diferenciación implícita.
Es decir, existe una funcióßn $G=(g_1(p),\dots, g_m(p))$,
clase $C^1$ en una vecindad de $p_0$, tal que $G(p_0)=x_0$ y
$$
F(p,G(p))=0, \quad \textrm{prara toda $p$ es una vecindad de $p_0$}.
$$
Extremos locales
Teorema
Sea $C$ un subconjunto cerrado y acotado de $\mathbb{R}^n$ y sea $f:C \to \mathbb{R}$ una función contínua
en $C$. Entonces existen puntos $c_*, c^* \in C$ tal que
$$
f(c_*)=\min_{p\in C}\{f(p) \}, \quad f(c^*)=\max_{p\in C}\{f(p) \}.
$$
Teorema
Sea $U$ un abierto de $\mathbb{R}^n$ y $f:U\to \mathbb{R}$ una función diferenciable en $U$.
Si $f$ alcanza un máximo o mínimo local en $p_0\in U$ entonces
$$
\nabla_{p_0}f=0.
$$
Teorema
Criterio de la matriz Hessiana para puntos extremos
Sea $U$ un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ y $f:U\to \mathbb{R}$ una función de clase $C^2$ en $U$.
Sea $p_0\in U$ un punto crítico de $f$. Entonces
- Si $H_{p_0}f >0$ entonces $f$ alcanza un mínimo local en $p_0$.
- Si $H_{p_0}f < 0 $ entonces $f$ alcanza un máximo local en $p_0$.
- En otro caso, $p_0$ es un punto silla.
Teorema
Sea $U$ un abierto de $\mathbb{R}^2$ y $f:U \to \mathbb{R}$ una función de clase $C^2$ en $U$.
Sea $p_0\in U$ un punto crítico de $f$. Entonces
- Si $\det(H_{p_0}f)>0$ y $\partial_{x,x}f(p_0)>0$, entonces $f$ alcanza un mínimo local en $p_0$.
- Si $\det(H_{p_0}f)>0 $ y $\partial_{x,x}f(p_0)$, entonces $f$ alcanza un máximo local en $p_0$.
- Si $\det(H_{p_0}f)< 0$ entonces $p_0$ es un punto silla.
Teorema
Multiplicadores de Lagrange
Sea $U$ un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ y $f,g: U \to \mathbb{R}$, dos funciones
de clase $C^1$ en $U$.
Considera el conjunto de nivel:
$$
S:=\{ p\in U: g(p)=c \}
$$
Si $f|_S$ (es decir, $f$restringida a $S$), alcanza un máximo o mínimo local en $p_0\in S$
y $\nabla_{p_0}g\ne 0$, entonces existe un real $\lambda$ (que bien puede ser cero), tal que
$$
\nabla_{p_0}f=\lambda \nabla_{p_0}g
$$