Teorema

Dado un producto interior $\langle , \rangle :\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$, la función $$ \| p\|:= \langle p,p \rangle ^{1/2} $$ define una norma en $\mathbb{R}^n$.

Teorema

Desigualdad de Cauchy-Schwartz

Dado un producto interior $\langle , \rangle :\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ y $\| \cdot \|$ su norma inducida, se tiene que $$ |\langle p, q \rangle| \leq \|p\| \|q\| $$ para todos $p,q\in \mathbb{R}.$

Teorema

Teorema de Bolzano-Weirestrass

Sea $K$ un subconjunto de $\mathbb{R}^n$, cerrado y acotado. Entonces toda sucesión $(p_n)\subset K$ admite una subsucesión convergente a un punto de $K$. Es decir, existe $p\in K$ y $(p_{n_k})_{k\geq 1}$ una subsucesión tal que $$ \lim_{k \to \infty}p_{n_k}=p. $$

Teorema

Linealidad de la derivada

Sea $U$ un abierto de $R^n$ y $f,g:U \to \mathbb{R}^m$ funciones diferenciables en $p_0\in U$. Sea $a\in \mathbb{R}$ un escalar. Entonces la función $af+g$ es diferenciable en $p_0$ y $$ D_{p_0}(af+g)=aD_{p_0}f+D_{p_0}g. $$

Teorema

Regla de la cadena

Sea $U$ un abierto de $\mathbb{R}^n$ y $V$ un abierto de $\mathbb{R}^m$. Considera funciones $f:U \to \mathbb{R}^m$, $g:V\to \mathbb{R}^k$ tales que $f(U) \subseteq V$, para que la función composición, $g\circ f$ esté bien definida. Si $f$ es diferenciable en $p_0\in U$ y $g$ es diferenciable en $f(p_0)\in V$, entonces la composición, $g\circ f$ es diferenciable en $p_0$ y $$ D_{p_0}(g\circ f)= D_{f(p_0)}g D_{p_0}f. $$

Nota: en la ecuación anterior el lado derecho es la multiplicación de matrices.

Teorema

Igualdad de las derivadas mixtas

Sea $U$ un abierto de $\mathbb{R}^2$. Supongamos que las derivadas parciales $\partial_xf, \partial_yf, \partial_{x,y}f$ existen en todo punto de $U$ y que $\partial_{x,y}f$ es continua en $(x_0,y_0)\in U$. Entonces la derivada parcial $\partial_{y,x}f$ existe en $(x_0,y_0)$ y $$\partial_{x,y}f(x_0,y_0)=\partial_{y,x}f(x_0,y_0)$$

Teorema

del valor medio

Sea $U$ un abierto de $\mathbb{R}^n$ y $f:U \to \mathbb{R}$ una función. Supón que $p,q\in U$ y que $U$ contiene el segmento de línea que une $p$ con $q$. Si $f$ es diferenciable en todo punto del segmento de línea que una $p$ con $q$, entonces existe un punto $c\in U$ tal que $$ f(q)-f(p)=D_cf(q-p). $$

Teorema

Taylor de orden 1

Sea $U$ un abierto de $R^n$ y $f:U\to \mathbb{R}$ una función diferenciable en $p_0\in U$. Entonces $$ f(p_0+h)=f(p_0)+\sum_{j=1}^n h_j \partial_{p_j}f(p_0)+ E_1(p_0,h) $$ donde $\lim_{h\to 0} \frac{E_1(p_0,h)}{\|h\|}=0$.

Teorema

Taylor de orden 2

Sea $U$ un abierto de $R^n$ y $f:U\to \mathbb{R}$ una función de clase $C^2$ en $U$. Dado $p_0\in U$ entonces $$ f(p_0+h)=f(p_0)+ \langle h , \nabla_{p_0}f \rangle + \frac{1}{2}\langle h, H_{p_0}f h \rangle+E_2(p_0,h) $$ donde $\lim_{h\to 0} \frac{E_2(p_0,h)}{\|h\|^2}=0$.

Teorema

Solubilidad local

Sea $U\subseteq \mathbb{R}^n$ un abierto y $F:U \to \mathbb{R}^n$ una función de clase $C^1$ en $U$. Si $p_0\in U$ es tal que $D_{p_0}F$ es invertible entonces existe $r_1, r_2>0$ tales que, para toda $q\in B_{r_2}(F(p_0))$ existe $p\in B_{r_1}(p_0)$ tal que $F(p)=q$.

Teorema

Del mapeo abierto

Sea $U\subseteq \mathbb{R}^n$ un abierto y $F:U \to \mathbb{R}^n$ una función diferenciable en $U$. Si $D_PF$ es invertible, para todo $p\in U$, entonces $F(U)\subseteq \mathbb{R}^n$ es abierto en $\mathbb{R}^n$.

Teorema

de la Función Inversa

Sea $U\subseteq \mathbb{R}^p$ un abierto y $F:U\subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ una función de clase $C^1$ en $U$. Si $p_0\in U$ es tal que $\det(D_{p_0}F)\ne 0$ entonces, existen abierto $V,W \subseteq \mathbb{R}^n$ tales que:

1. $p_0\in V, F(p_0)\in W$,
2. la restricción $F:V \to W$ es una biyección,
3. la función inversa $F^{-1}:W \to V$ es diferenciable de clase $C^1$.

Teorema

de la función implícita, 1 dimensional

Sea $F:\mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}$ una función de clase $C^1$ en $\mathbb{R}^{n+1}$. Denotamos los puntos en $R^{n+1}$ por $(p,x)$, con $p\in \mathbb{R}^n, x\in \mathbb{R}$. Supongamos que $(p_0,x_0)$ satisface \begin{eqnarray*} F(p_0,x_0)=0, \quad \partial_{x}F(p_0,x_0)\ne 0. \end{eqnarray*} Entonces existe $U$ un abierto de $\mathbb{R}^n$, $V$ un abierto de $\mathbb{R}$, una función $g:U \to V$, tales que

1. $p_0\in U$, $x_0 \in V$,
2. $F(p,g(p))=0$,
3. si $p\in U$ y $x\in V$ satisfacen $F(p,x)=0$ entonces $x=g(p)$,
4. $g$ es de clase $C^1$ en $U$,
5. para todo $i=1,\dots, n$, $\partial_{p_i}g(p)= \left. -\frac{\partial_{p_i}F}{\partial_{x}F} \right|_{(p,g(p))}$.

Teorema

Supongamos que tenemos $F_1,\dots, F_m:\mathbb{R}^n\times R^{m} \to \mathbb{R}$ funciones de clase $C^1$. Denotamos los puntos como $(p,x)$, donde $p\in \mathbb{R}^n, x\in \mathbb{R}^m$. Supongamos que $(p_0, x_0)$ satisface $F(p_0,x_0)=0$ y \begin{eqnarray*} \det \left[ \begin{array}{ccc} \partial_{x_1}F_1(p_0,x_0) \cdots \partial_{x_m}F_1(p_0,x_0) \\ \vdots \hspace{1cm} \vdots \\ \partial_{x_1}F_m(p_0,x_0) \cdots \partial_{x_m}F_m(p_0,x_0) \end{array} \right]\ne 0 \end{eqnarray*} Entonces, en una vecindad de $(p_0,x_0)$, el sistema de ecuaciones \begin{eqnarray*} F_1(p_1,\cdots, p_n, x_1,\dots, x_m)=0, \\ F_2(p_1,\cdots, p_n,x_1,\dots, x_m)=0 \\ \vdots \\ F_m(p_1,\dots, p_n, x_1,\dots, x_m)=0 \end{eqnarray*} define, de manera única, funciones de clase $C^1$, $$ x_j=g_j(p_1,\dots, p_n), \quad j=1,\dots, m. $$ Las derivadas de las funciones $g_j$, se pueden calcular por diferenciación implícita. Es decir, existe una funcióßn $G=(g_1(p),\dots, g_m(p))$, clase $C^1$ en una vecindad de $p_0$, tal que $G(p_0)=x_0$ y $$ F(p,G(p))=0, \quad \textrm{prara toda $p$ es una vecindad de $p_0$}. $$

Teorema

Sea $C$ un subconjunto cerrado y acotado de $\mathbb{R}^n$ y sea $f:C \to \mathbb{R}$ una función contínua en $C$. Entonces existen puntos $c_*, c^* \in C$ tal que $$ f(c_*)=\min_{p\in C}\{f(p) \}, \quad f(c^*)=\max_{p\in C}\{f(p) \}. $$

Teorema

Sea $U$ un abierto de $\mathbb{R}^n$ y $f:U\to \mathbb{R}$ una función diferenciable en $U$. Si $f$ alcanza un máximo o mínimo local en $p_0\in U$ entonces $$ \nabla_{p_0}f=0. $$

Teorema

Criterio de la matriz Hessiana para puntos extremos

Sea $U$ un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ y $f:U\to \mathbb{R}$ una función de clase $C^2$ en $U$. Sea $p_0\in U$ un punto crítico de $f$. Entonces

1. Si $H_{p_0}f >0$ entonces $f$ alcanza un mínimo local en $p_0$.
2. Si $H_{p_0}f < 0 $ entonces $f$ alcanza un máximo local en $p_0$.
3. En otro caso, $p_0$ es un punto silla.

Teorema

Sea $U$ un abierto de $\mathbb{R}^2$ y $f:U \to \mathbb{R}$ una función de clase $C^2$ en $U$. Sea $p_0\in U$ un punto crítico de $f$. Entonces

1. Si $\det(H_{p_0}f)>0$ y $\partial_{x,x}f(p_0)>0$, entonces $f$ alcanza un mínimo local en $p_0$.
2. Si $\det(H_{p_0}f)>0 $ y $\partial_{x,x}f(p_0)$, entonces $f$ alcanza un máximo local en $p_0$.
3. Si $\det(H_{p_0}f)< 0$ entonces $p_0$ es un punto silla.

Teorema

Multiplicadores de Lagrange

Sea $U$ un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ y $f,g: U \to \mathbb{R}$, dos funciones de clase $C^1$ en $U$. Considera el conjunto de nivel: $$ S:=\{ p\in U: g(p)=c \} $$ Si $f|_S$ (es decir, $f$restringida a $S$), alcanza un máximo o mínimo local en $p_0\in S$ y $\nabla_{p_0}g\ne 0$, entonces existe un real $\lambda$ (que bien puede ser cero), tal que $$ \nabla_{p_0}f=\lambda \nabla_{p_0}g $$