La noción formal de continuidad tomó varios años en desarrollarse tal vez porque a
primera vista parece algo sencillo. En términos de la gráfica de una función,
una función es continua si se puede dibujar su gráfica "de manera continua", "sin
despegar el lápiz" o "de tal forma que no tenga saltos". Fue Cauchy el que usó la idea
de límite para definir la continuidad y tal vez más importante define la noción
de continuidad para un punto, no en términos de toda la gráfica si no
que fija un punto \(x_0\) en el dominio de la función y define la continuidad
en \(x_0\) analizando el comportamiento de los valores de la función cercanos a
\(x_0\).
Definición
Sea \(f\) una función definida en una vecindad de \(a\). Decimos que \(f\) es
continua en \(a\) si,
\[
\lim_{x\to a}f(x)=f(a).
\]
Lo que nos está diciendo el límte anterior es que los valores de la función
cercanos al punto \(a\) se van aproximando a \(f(a)\). Hay importante
resaltar que a pesar que los valores de la función se van aproximando a
valor \(f(a)\) ésto no quiere decir que se están aproximando de una manera
sencilla. En los ejemplos que siquen se pueden ver que la función puede oscilar
mucho cerca de un punto y sin embargo la función es continua en un punto dado.
Otro aspecto importante es que la definición de continuidad es local,
es decir, cerca del punto donde se está haciendo el análisis. Si uno se mueve
a otro punto en el domino de la función la continuidad pude perderse. Por esta
razón las funciones que tienen "mejores" propiedades (por decirlo
de alguna forma) son aquellas que son continuas en todo su dominio de
definición.
Ejemplos y no-ejemplos
Ejemplos
Por el Ejercicio 5.9 tenemos que
la función identidad, \(f(x)=x\) es continua en todo punto. La
continuidad en todos los puntos de su dominio se ve reflejada en la
gráfica de la función pues, intuitivamente, la gráfica se dibuja
de manera continua (sin "despegar el lápiz").
De forma más general el Ejercicio 7.26 nos dice que
si una función \(f\) es diferenciable en un punto
\(a\) entonces \(f\) es continua en el punto \(a\). Así pues diferenciabilidad
implica continuidad, pero no al contrario (ver
Ejercicio 12.5).
Hasta ahora los ejemplos que se han mencionado son "bonitos" pues
las funciones han sido continuas en todos los puntos de su dominio y en
consecuencia sus gráficas se dibujan "continuamente". El siguiente
ejemplo muestra que una función puede ser continua en un punto \(a\) y su
gráfica puede tener muchos "trozos" alrededor del punto \(a\).
Nota que ésta función "da muchos saltos" cerca del cero y sin embargo vamos
a probar que \(f\) es continua en cero.
Ya que \(f(0)=0\), para probar la continuidad de ésta función en cero debemos de probar
\(\lim_{x\to 0} f(x)=0\). Usando la definición de epsilon-delta,
debemos de probar que para toda \(\varepsilon >0\) existe
\(\delta >0\) tal que si \(|x|<\delta \) entonces \(|f(x)| < \varepsilon\).
Ahora, por la propiedad Arquimideana existe \(N\in \mathbb{N}\) tal que
\(\frac{1}{N}< \varepsilon\). Tomamos \(\delta = \frac{1}{N}\) y
\(x\in [-1,1]\) con \(0<|x|<\delta\). Al calcular \(f(x)\) encontramos
el natural \(n\) tal que \(\frac{1}{n+1}< |x| \leq \frac{1}{n}\). Se sigue que
\(\frac{1}{n+1}< |x|< \delta = \frac{1}{N}\), por lo tanto
\[
|f(x)|=\left| \frac{(-1)^n}{n+1} \right|= \frac{1}{n+1}< \frac{1}{N}< \varepsilon.
\]
Concluimos pues que \(\lim_{x\to 0} f(x)=f(0)=0\).
No-ejemplos
A parte de los ejemplos, los no-ejemplos son ilustrativo.
Considera la función \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) dada por
\[
f(x)=\left\{
\begin{array}{cc}
1 & x < 0 \\
2 & x \geq 0
\end{array}
\right.
\]
La función no es continuia en \(x=0\) pues el límite
\(\lim_{x\to 0} f(x)\) no existe ya que los límites laterales son
\[
\lim_{x\to 0^-} f(x)=1, \lim_{x\to 0^+} f(x)=2
\]
los cuales son distintos.
Considera la función \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) dada por
\[
f(x)=\left\{
\begin{array}{cc}
1 & x\ne 0 \\
-2 & x =0
\end{array}
\right.
\]
La función no es continua en \(x=0\) pues a pesar de que el límite
\(\lim_{x\to 0} f(x)=1\) existe, no es igual al valor de la función en
\(x=0\), que es \(f(0)=-2\).
La función de Dirichlet está dada por \(D:[0,1]\to \mathbb{R}\)
\[
D(x)=\left\{
\begin{array}{cc}
1 & x \in \mathbb{Q} \\
0 & x \notin \mathbb{Q}
\end{array}
\right.
\]
Para cualquier punto \(x_0\in [0,1]\), \(D\) no es continua en \(x_0\)
pues el límite \(\lim_{x\to x_0}D(x)\) no existe, razón:
supongamos que el límite existe y es igual a un númeor \(L\),
\[
\lim_{x\to x_0} D(x)=L,
\]
para \(\varepsilon =1/3\), existe una vecindad perforada donde \(|D(x)-L|< 1/3\)
para todo \(x\) en la vecindad. Ahora, si \(x\) es racional
entonces \(| 0 -L|< 1/3\) es decir \(-1/3< L< 1/3\); si \(x\) es irracional \(|1-L|< 1/3\) y al abrir el valor
absoluto lleva a que \( 2/3< L< 4/3 \), contradiciendo la desigualdad anterior.
Ejercicio
Sea \(f\) una función definida en una vecindad de \(a\). Demuestra que
\(f\) es continua en \(a\) si y sólo si
\[
\lim_{h\to 0} f(a+h)=f(a)
\]
Este ejercicio es simplemente una forma diferente de escribir el límite
\(\lim_{x\to a} f(x)=f(a)\). Iniciamos escribiendo los límites relevantes usando la notación
de \(\varepsilon, \delta\).
Para \(\lim_{x\to a} f(x)=f(a)\) tenemos que para toda
\(\varepsilon >0\) existe \(\delta > 0\) tal que
\begin{equation}\label{Ejer:EqnEquivNotacionContinuidad1}
0<|x-a |<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)| < \varepsilon.
\end{equation}
Para \(\lim_{h\to 0} f(a+h)=f(a)\) tenemos que para toda
\(\varepsilon > 0\) existe \(\delta >0\) tal que
\begin{equation}\label{Ejer:EqnEquivNotacionContinuidad2}
0<|h|<\delta \Rightarrow |f(a+h)-f(a)| < \varepsilon.
\end{equation}
Sólo notamos que para pasar de \eqref{Ejer:EqnEquivNotacionContinuidad1}
a \eqref{Ejer:EqnEquivNotacionContinuidad2} tomamos \(h=x-a\) y
para pasar de \eqref{Ejer:EqnEquivNotacionContinuidad2} a
\eqref{Ejer:EqnEquivNotacionContinuidad1} tomamos \(x=a+h\).
Ejercicio
Demuestra que la función \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) dada por
\(f(x)=|x|\) es continua
en todo punto de \(\mathbb{R}\) pero no es diferenciable en \(x=0\).
Nota: este ejercicio muestra que continuidad no implica diferenciabilidad.
Ejercicio
Encuentra los puntos donde las siguientes funciones son continuas.
Nota: por \(\lfloor x \rfloor\) denotamos a el mayor entero menor a igual a
\(x\), por ejemplo \(\lfloor 2.75 \rfloor =2 , \lfloor -1.2 \rfloor= -2\). Nota
que se tiene \(\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor +1\).
la función \(f(x)=\lfloor x \rfloor\), \(x\in \mathbb{R}\).
la función \(f(x)=\lfloor \frac{1}{x} \rfloor\), \(x\in \mathbb{R}\),
\(x\ne 0\).
la función \(f(x)=\lfloor \sqrt{x} \rfloor\), \(x\in \mathbb{R}\),
\(x\geq 0\).
la función \(f(x)=\lfloor x^2 \rfloor\), \(x\in \mathbb{R}\).
Para \(x\) que satisface
\(0<|x|< \frac{\pi}{2}\) demuestra
\[
|\sen(x)|<|x|.
\]
Concluye que \(\lim_{x\to 0}\sen(x)=0\).
Sugerencia: para \(x\) medido en radianes, el ángulo \(x\) se puede interpretar
como \(2\times (\sphericalangle AOB)\),
donde \(AOB\) es el segmento circular, del circulo unitario, que abre
un ángulo \(x\).
Ejercicio
Sea \(f\) una función definida en una vecindad del punto \(L\) y continua \(L\).
Sea \(g\) una función definida en una vecindad agujereada de \(a\) tal que
\(\lim_{x\to a}g(x)=L\)
Prueba que
\[
\lim_{x\to a}f(g(x))=f(L)
\]
Lo cual se puede escribir como
\[
\lim_{x\to a} f(g(x))=f(\lim_{x\to a} g(x))
\]
es decir, podemos "meter el límite" para funciones continuas
(¡siempre y cuando el límite de adentro exista!).
Ejercicio
Sea \(g\) una función definida en una vecindad de \(x_0\) y continua en
\(x_0\). Sea \(f\) una función definida en una vecindad de \(g(x_0)\)
y continua en \(g(x_0)\). Demuestra que la composición \(f \circ g\) es continua en \(x_0\).
Sugerencia: aplica directamente el ejercicio anterior.
Ejercicio
Proporciona ejemplos de funciones \(f\) y \(g\) tales que
Ni \(f\) ni \(g\) son continuas en \(1\), pero \(f+g,f-g\), \(fg\) son continuas
en \(1\).
\(g\) es discontinua en \(0\), \(f\) es discontinua en \(g(0)\) pero \(f\circ g\)
es continua en \(0\).
Definición
Sea \(f\) una función definida en un intervalo de la forma \([a,b)\).
Decimos que \(f\) es continua por la derecha en \(a\) si
\[
\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a).
\]
Sea \(f\) una función definida en un intervalo de la forma \((a,b]\).
Decimos que \(f\) es continua por la izquierda en \(b\) si
\[
\lim_{x\to b^-}f(x)=f(b).
\]
Ejercicio
Sea \(f\) una función definida en una vecindad de \(a\). Prueba que \(f\)
es contina en \(a\) si y sólo si \(f\) es continua por la derecha y por
la izquierda en \(a\).
Definición
Decimos que una función \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) es continua en \([a,b]\) si:
para todo \(c \in (a,b)\), \(\lim_{x\to c}f(x)=f(c)\);
\(\lim_{x\to a^+} f(x)=f(a)\);
\(\lim_{x\to b^-}f(x)=f(b)\).
Ejercicio
Sea \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) una función
que satisface: \(|f(u)-f(v)| \leq |u-v|\), para todos \(u,v\in [a,b]\).
Demuestra que
\(f\) es continua en todo el intervalo \([a,b]\).
Ejercicio
Sea \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) una función continua en todo \([a,b]\).
Demuestra que la función \(|f|\) es continua en todo \([a,b]\).
¿ Es el regreso del inciso anterior cierto? Es decir,
si \(|f|\) es continua en
\([a,b]\) entonces \(f\) es continua en \([a,b]\). Demostrar o dar un contraejemplo.
Ejercicio
Sean \(g:[a,b]\to [c,d]\), \(f:[c,d]\to \mathbb{R}\) funciones continuas
en \([a,b]\) y \([c,d]\), respectivamente. Demuestra que la composición
\(f \circ g:[a,b]\to \mathbb{R}\) es continua en todo \([a,b]\).
Ejercicio
Sea \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) una función continua en todo \([a,b]\) y sea
\(g:[b,c]\to \mathbb{R}\) una función continua en todo
\([b,c]\). Prueba que si \(f(b)=g(b)\) entonces la función
\(h:[a,c]\to \mathbb{R}\) dada por
\[
h(x)=\left\{
\begin{array}{cc}
f(x) & a\leq x \leq b \\
g(x) & b< x\leq c
\end{array}
\right.
\]
es continua en todo \([a,c]\).