Cálculo UNO

Regla de la cadena

Introducción

La regla de la cadena nos dice que composición de funciones diferenciables es diferenciable y además nos da una fórmula para calcular la derivada. Para iniciar vamos a ver un ejemplo.

Supongamos que tenemos una partícula que se mueve sobre el eje real y que \(g_1(t)\) representa la posición de la partícula (respecto al origen) al tiempo \(t\). Si \(v_1\) representa la velocidad de la partícula sabemos que \(v_1=g_1'\).

Ahora supongamos que tenemos otra partículo que sigue la misma trayectoria que la primera pero con el doble de velocidad. Si \(g_2(t)\) representa la posición de la segunda partícula la relación entre \(g_1\) y \(f_2\) es que \(g_2(t)=g_1(2t)\) (pues al tiempo \(t\) la segunda partícula ha recorrido el doble de la distancia que la primera partícula). Ahora denotemos por \(v_2\) a la valocidad de la segunda partícula, de manera intuitiva tenemos \(v_2=2v_1\), pero también sabemos que \(v_2=g_2'\), por lo que llegamos a la relación \[ g_2'(t)=v_2(t)=2v_1(2t)=2g_1'(2t). \] En resumen tenemos una formula para la derivada de la composición \(g_1(2t)\). Denotando \(f(t)=2t\) y notando que \(f'(t)=2\) podemos escribilr la relación anterior como \[ (g_1\circ f)'(t)= f'(t)g_1'(f(t)) \]

Es importante notar el factor \(f'(t)=2\) que aparece en la derivada de la composición. Es decir, la derivada de la composición NO es simplemente la derivada de la función que está "más afuera" sino que hay un factor enfrente, dicho factor es el que toma en cuenta la derivada de la función que está "más adentro". Por cierto, de aqui también viene el nombre de "regla de la cadena" pues una composición puede pensarse como "dos eslabones": la función de "adentro" y la función de "afuera "; la regla une estos dos "eslabones" al multiplicar las dos derivadas correspondientes.

Para terminar vamos a comprobar la fórmula \(g_2'(t)=2g_1'(2t)\) directamente usando la definición de derivada. Primero calculamos el cociente diferencial de \(g_2\) en términos del de \(g_1\): \[ \frac{g_2(t+h)-g_2(t)}{h}=\frac{g_1(2(t+h))-g_1(2t)}{h}=\frac{g_1(2t+2h)-g_1(2t)}{h}. \] Tomando el cambio de variable \(k=2h\) tenemos que podemos reescribir lo anterior como \[ \frac{g_2(t+h)-g_2(t)}{h}=\frac{g_1(2t+k)-g_1(2t)}{k/2}=2\left(\frac{g_1(2t+k)-g_1(2t)}{k}\right). \] Finalmente notando que \(h\to 0\) si y sólo si \(k\to 0\) conlcuimos \[ g_2'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{g_2(t+h)-g_2(t)}{h}=\lim_{k\to 0}2\left(\frac{g_1(2t+k)-g_1(2t)}{k}\right)=2g_1'(2t). \]

Teorema

La regla de la cadena

Sea \(f\) una función definida en una vecindad de \(a\) y sea \(g\) una función definida en una vecindad de \(f(a)\) (así la composición \(g\circ f\) está definida en una vecindad de \(a\)). Si \(f\) es diferenciable en \(a\) y \(g\) es diferenciable en \(f(a)\) entonces la composición \(g\circ f\) es diferenciable en \(a\) y \[ (g\circ f)'(a)=g'(f(a))f'(a) \]

Este ejercicio da una demostración de la regla de la cadena.

Supongamos que \(f(x)\) está definida para \(x\in (a-\delta, a+\delta)\) y \(g(u)\) está definida para \(u\in (f(a)-\eta, f(a)+\eta)\). Denotamos \(f(a)=u_0\).

  1. Usando la continuidad de \(f\) en \(a\) prueba que existe una \(\delta' >0\) tal que para todo \(x\in (a-\delta', a+\delta')\) se cumple que \(f(x)\in (u_0-\eta, u_0+\eta)\). Por lo tanto, la composición \((g\circ f)(x)\) está bien definida para todo \(x\in (a-\delta', a+\delta')\).
  2. Para \(u \in (u_0-\eta, u_0+\eta)\) define \[ G(u)= \left\{ \begin{array}{cc} \frac{g(u)-g(u_0)}{u-u_0} -g'(u_0)& u\ne u_0 \\ 0 & u=u_0 \end{array} \right. \] prueba que \(G\) es una función continua en \((u_0-\eta, u_0+\eta)\) y que para \(u\in (u_0-\eta, u_0+\eta)\): \[ (u-u_0)(G(u)+g'(u_0))= g(u)-g(u_0). \]
  3. Con ayuda de los incisos anteriores prueba que, para \(x \in (a-\delta', a+\delta')\), \(x \ne a\): \[ \frac{(g\circ f)(x)-(g\circ f)(a)}{x-a}=\left(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right)[G(f(x))+g'(u_0)]. \]
  4. Toma límite cuando \(x\to a\) en el inciso anterior para concluir \[ \lim_{h\to 0} \frac{(g\circ f)(a+h)-(g\circ f)(a)}{h}=f'(a) g'(f(a)). \]

Ejercicio

Este ejercicio da otra demostración de la regla de la cadena, esta vez usando aproximaciones lineales.

Supongamos que \(f(x)\) está definida para \(x\in (a-\delta, a+\delta)\) y \(g(u)\) está definida para \(u\in (f(a)-\eta, f(a)+\eta)\).

Si \(f\) es diferenciable en \(a\) y \(g\) es diferenciable en \(f(a)\) entonces la composición \(g\circ f\) es diferenciable en \(a\) y \[ (g\circ f)'(a)=g'(f(a))f'(a) \]

Denotamos \(u_0=f(a)\).

  1. Usando la continuidad de \(f\) en \(a\) prueba que existe una \(\delta' >0\) tal que para todo \(x\in (a-\delta', a+\delta')\) se cumple que \(f(x)\in (u_0-\eta, u_0+\eta)\). Por lo tanto, la composición \((g\circ f)(x)\) está bien definida para todo \(x\in (a-\delta', a+\delta')\).
  2. Usando una aproximación lineal prueba que se puede escribir: \[ g(u)=g(u_0)+g'(u_0)(u-u_0)+E(u-u_0) \] con \(u \in (u_0-r_1, u_0+r_1)\) (para alguna \(r_1>0\)) y la función error satisface \(E:(-r_1,r_1)\to \mathbb{R}\), \(E(0)=0\) y \(E(u-u_0)=o(u-u_0)\).
  3. Usando los incisos anteriores prueba que se puede expresar: \begin{equation*} g(f(x))=g(u_0)+g'(u_0)(f(x)-u_0)+E(f(x)-u_0). \end{equation*} con \(x\in (a-r_2, a+r_2)\) (para alguna \(r_2 >0\)) y además \(E(f(x)-u_0)=o(x-a)\).
  4. Usa una aproximación lineal para \(f\) y los incisos anteriores para probar que se puede escribir: \begin{eqnarray*} g(f(x))&=&g(f(a))+g'(f(a))f'(a)(x-a)+g'(f(a))F(x-a)\\ &+& E(f(x)-f(a)). \end{eqnarray*} para \(x \in (a-r,a+r)\) (para alguna \(r>0\)) con la función error que satisface \(F:(-r,r)\to \mathbb{R}\), \( F(0)=0\) y \(F(x-a)=o(x-a)\).
  5. Usa el Ejercicio 9.13 para deducir que para \(x\in (a-r,a+r)\): \[ g(f(x))=g(f(a))+g'(f(a))f'(a)(x-a)+o(x-a) \] y concluye usando el Ejercicio 9.12 que \(g\circ f\) es diferenciable en \(a\) y \((g\circ f)'(a)=g'(f(a))f'(a)\).

Nota

Hasta ahora las familias de funciones a las cuales podemos calcular sus derivadas son limitadas. Hagamos una lista.

Sin embargo no tenemos reglas para funciones tan sencillas como \(\cos(x^2)\), \(e^{3x+1}\) ó más complicadas como \(e^{-\frac{1}{x^2}}\). La regla de la cadena es la herramienta que nos ayuda a calcular dichas derivadas o otras más complicadas.

Por ejemplo, para \(h(x)=\cos(x^2)\), tomamos \(f(x)=x^2, g(u)=\cos(u)\), para que entonces \(h(x)=g(f(x))\) así que por la regla de la cadena: \[ h'(x)=g'(f(x))f'(x)=-\sen(f(x))f'(x)=-\sen(x^2)f'(x)=-\sen(x^2)(2x). \]

Para \(h(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}\) tomamos \(f(x)=-\frac{1}{x^2}, g(u)=e^u\), para que \(h(x)=g(f(x))\) y aplicando la regla de la cadena resulta: \[ h'(x)=g'(f(x))f'(x)=e^{f(x)}=e^{-\frac{1}{x^2}}f'(x)=(e^{-\frac{1}{x^2}})\left( \frac{2}{x^3} \right). \]

Ejercicio

Supon que \(f\) es una función diferenciable, en un intervalo adecuado. Encuentra las siguientes derivadas
  1. \(f(x+b)\), \(b\in \mathbb{R}\) fijo y arbitrario.
  2. \(f(ax+b)\), \(a,b\in \mathbb{R}\) fijos y arbitrarios.
  3. \(f(ax^2+bx+c)\), \(a,b,c \in \mathbb{R}\) fijos y arbitrarios.
  4. \(e^{f(x)}\)
  5. \(f(e^x)\)
  6. \(\sen(f(x))\)
  7. \(f(\sen(x))\)
  8. \(\cos(f(x))\)
  9. \(f(\cos(x))\)
  10. \(f(\tan(x))\)
  11. \(\tan(f(x))\)

Nota

La regla de la cadena puede aplicarse para funciones que son composiciones de más de dos funciones, simplemente se aplica varias veces consecutivas.

Por ejemplo, digamos que queremos diferenciar la función \(k(x)=\sqrt{(\cos(x))^2+1}\). Empezamos a leer la función desde "adentro hacia afuera" para definir las funciones \[ f(x)=\cos(x), g(u)=u^2+1, h(t)=\sqrt{t} \] y obtener que \(k(x)=h(g(f(x)))\). Ahora, para ponernos en la situación de la regla de la cadena también denotamos \(F(x)=g(f(x))\), para que \(k(x)=h(F(x))\), la cual, aplicando la regla de la cadena tiene derivada \[ k'(x)=h'(F(x))F'(x). \] Asu vez, al ser \(F\) una composición \(F(x)=g(f(x))\), podemos aplicar la regla de la cadena para obtener \[ F'(x)=g'(f(x))f'(x). \] Combinando las dos ecuaciones anteriores resulta \[ k'(x)=h'(F(x))g'(f(x))f'(x) \] (¡ nota que la expresión a la derecha del parentesis parece una cadena !).

Finalmente, sabiendo que las derivadas de las funciones son \[ f'(x)=-\sen(x), g'(u)=2u, h'(t)=\frac{1}{2}t^{-1/2} \] concluimos \begin{eqnarray*} k'(x)&=& \frac{1}{2}\left( (\cos(x))^2+1 \right)^{-1/2}2(\cos(x) )(-\sen(x)) \\ &=& - \frac{\sen(x)\cos(x)}{\sqrt{(\cos(x)^2+1)}}. \end{eqnarray*}

Ejercicio

Encuentra las derivadas de las siguientes funciones
  1. \(\cos(\sen(x^2+1))\), \(x\in \mathbb{R}\).
  2. \(\cos(1-(\sen(x))^2)\), \( x \in \mathbb{R}\).
  3. \( \sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}}\), \(x>0\).
  4. \(\sqrt{(x-2)(x+1)^2}\), \(2 < x\).
  5. \(\sqrt{\frac{1+x^2}{1-x^2}}\), \(|x|< 1\).
  6. \(\sqrt[4]{\sqrt[3]{\sqrt[2]{x}}}\), \(x>0\).
  7. \(\sqrt{x+\sqrt{x^2 + \sqrt{x^3+1}}}\), \(x>0\).

Ejercicio

Sea \(f:(a,b)\to \mathbb{R}\) una función diferenciable en todo \((a,b)\). Usa la regla de la cadena para porbar la siguiente regla de la potencia \[ \frac{df^n(x)}{dx}= nf^{n-1}(x)\frac{df(x)}{dx} \] donde \(n\geq 2\) es un natural.

Definimos \(h(x)=f^n(x)\), para \(x\in (a,b)\). Entonces \(h(x)=g(f(x))\) donde \(g(u)=u^n\).

Ya que \(f\) es diferenciable en todo \((a,b)\) y \(g\) es diferenciable en todo \(\mathbb{R}\), por la regla de la cadena \(g\circ f\) es diferenciable en todo \((a,b)\) y \[ (g\circ f)'(x)=g'(f(x))f'(x) \] Finalmente, sabemos que \(g'(u)=nu^{n-1}\), por lo tanto \[ h'(x)=(g\circ f)'(x)=nf^{n-1}(x)f'(x). \]

Ejercicio

Sea \(f:(a,b)\to \mathbb{R}\) una función diferenciable en todo \((a,b)\) tal que \(f(x)>0\) para toda \(x\in (a,b)\). Usa la regla de la cadena para porbar la siguiente regla de la potencia \[ \frac{df^{\frac{1}{n}}(x)}{dx}= \frac{1}{n}f^{\frac{1}{n}-1}(x)\frac{df(x)}{dx} \] donde \(n\geq 2\) es un natural.

Ejercicio

Sea \(f:(a,b)\to \mathbb{R}\) una función diferrenciable cen todo \((a,b)\) con \(f(x)\ne 0\) para toda \(x\in (a,b)\). Usa la regla de la cadena para dar otra prueba de que \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{f(x)} \right)= - \frac{1}{f^2(x)} \frac{df(x)}{dx}. \]

Diferenciación implícita

Una función puede venir de manera explícita o de manera implícita.

Una función es explícita si su regla de correspondencia está dada explícitamente. En otras palabras tenemos una fórmula para \(f(x)\), por ejemplo \[ f(x)=\sqrt{x^2-1}. \]

Una función es implícita si su regla de correspondencia no está dada explícitamente, si no que está dada en términos de otras relaciones. Por ejemplo, podemos considerar la función \(f(x)\) que satisface la ecuación \[ f^2(x)+1=x^2. \]

A veces podemos pasar de una función implícita a una explícita y la manera de hacerlo es despejando (si es que es posible). En el ejemplo anterior, si despejamos \(f(x)\) \(f^2(x)+1=x^2\) obtenemos dos soluciones: si \(f>0\) entonces \(f(x)=\sqrt{x^2-1}\), si \(f< 0 \) entonces \(f(x)=-\sqrt{x^2-1}\).

La diferenciación implícita consiste en derivar funciones que están dadas de manera implícita. Para derivar estas funciones se procede a derivar ambos lados de la ecuación que define a la función implícitamente. En el ejemplo anterior debemos derivar ambos lados de \(f^2(x)+1=x^2\) para obtener \begin{eqnarray*} & & \frac{d}{dx}\left(f^2(x)+1 \right) = \frac{d}{dx}(x^2) \\ & \Rightarrow & \frac{dx}{dx}(f^2(x))+\frac{d}{dx}(1) = 2x \\ & \Rightarrow & 2f(x)\frac{df(x)}{dx}+0 =2x \\ & \Rightarrow & \frac{df(x)}{dx}=\frac{x}{f(x)} \end{eqnarray*} donde en la primera implicación usamos que la derivada de una suma es la suma de las derivadas y en el segunda implicación la fórmula para la derivada de una potencia. Así pues, siempre y cuando \(f(x) \ne 0\) tenemos que \[ \frac{df(x)}{dx}=\frac{x}{f(x)}. \] Hay que notar que la derivada también está dada de manera implícita, pues de antemano no tenemos una fórmula explícita para \(f(x)\).

Nota: muchas ecuaciones llevan a definir funciones de manera implícita. Por ejemplo las siguientes ecuaciones \[ x^3+y^3-xy=1, \quad \cos(x)+\cos(y^2)=\cos(xy), \quad e^{xy}=1+xy \] si consideramos a la variable \(x\) como independiente esto lleva a que la variable \(y\) defina una función (\(y=f(x)\)) implícitamente, pero hay que tener cuidado pues tal vez se requieran condiciones adicionales (como \(f>0\) o \(f< 0 \) en el ejemplo anterior) para poder garantizar que \(y\) sea realmente una función y tal vez aún así no sea posible despejar a la \(y\) para obtener una fórmula explícita en términos de la \(x\).

Ejercicio

La ecuación \(x^2+y^2=1\) describe el círculo de radio 1.
  1. Despeja \(y\) de \(x^2+y^2=1\) y encuentra \(\frac{dy}{dx}\).
  2. Sin despejar \(y\), usa la regla de la cadena y las propiedades de la rerivada para derivar ambos lados de \(x^2+y^2=1\) y obtener una expresión para \(\frac{dy}{dx}\).
  3. Encuentra la recta tagente a \(x^2+y^2=1\) en el punto \((1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})\).

Ejercicio

Fija \(\alpha\in \mathbb{R}^+\). La ecuación \[ x^3+y^3=3\alpha xy \] define una curva en el plano llamada la hoja de Descartes.
  1. Dibuja la hoja de Descartes para \(\alpha=2\) (ayudate de una computadora).
  2. Muestra que la hoja de Descartes es simétrica con respecto a la recta \(y=x\).
  3. Demuestra que la hoja de Descartes tiene una asíntota en la recta \(x+y+\alpha=0\).
  4. Diferencia la hoja de descartes implícitamente para encontrar una expresi'on para \(\frac{dy}{dx}\).
  5. Encuentra la ecuación de la recta tangente a la hoja de Descartes en el punto \((3,3)\).
  6. Ecuentra los puntos de la hoja de Descartes donde la recta tangente es horizontal.

Ejercicio

Diferenciando implícitamente encuentra las ecuaciones a las rectas tagentes a las cruvas en los puntos dados.
  1. Elipse: \(x^2+4xy+y^2=6\) en el punto \((1,1)\).
  2. Hipérbola: \(x^2-y^2=9\) en el punto \((\sqrt{10},1)\).
  3. Astroide: \(x^{2/3}+y^{2/3}=\frac{1}{2}\) en el punto \((1/2^3,1/2^3)\).

Ejercicio

Usando diferenciación implícita encuentra la forma general de la recta tangente a la elipse \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) en el punto \((x_0,y_0)\).

Ejercicio

Usando diferenciación implícita encuentra la forma general de la recta tangente a la hiperbola \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) en el punto \((x_0,y_0)\).

Ejercicio

Dos curvas en el plano son ortogonales si sus rectas tangentes son perpendiculares en cada punto de intersección. Demuestra que las siguientes familias de curvas son ortogonales, es decir cada curva en una familia es ortogonal a cada curva de la otra.
  1. \(x^2+y^2=r^2\), para \(r>0\); \(ax+by=0\), con \(a\ne 0\) o \(b\ne 0\).
  2. \(y=cx^2\), \(c\ne 0\); \(x^2+2y^2=k\), \(k\ne 0\).
  3. Demuestra que las elipses \(x^2/a^2+y^2/b^2=1\) y las hiperbolas \(x^2/c^2-y^2/d^2=1\) son ortogonales si \(c^2 < a^2\) y \(a^2-b^2=c^2+d^2\).

Ejercicio

Ya hemos visto la regla de la potencia, para potencias de la forma \(n\) y \( \frac{1}{n}\). A saber: \begin{eqnarray*} \frac{d f^n(x)}{dx}&=&nf^{n-1}(x)\frac{df(x)}{dx} \\ \frac{d f^{\frac{1}{n}}(x)}{dx}&=&\frac{1}{n}f^{\frac{1}{n}-1}(x)\frac{df(x)}{dx} \end{eqnarray*}

Este ejercicio usa diferenciación implícita para generalizar la regla de la potencia para potencias racionales.

Tomemos \(p=\frac{n}{m}\), con \(n,m\in \mathbb{N}\), \(m\ne 0\). Supongamos que \(f:(a,b)\to \mathbb{R}\) es diferenciable en todo \((a,b)\) y que \(f>0\) en todo \((a,b)\).

  1. Define \(y(x):=f^p(x)\). Entonces \(y^m=f^n\)
  2. Diferencia implícitamente para obtener: \[ my^{m-1}\frac{dy}{dx}=n f^{n-1}\frac{df}{dx} \]
  3. Despeja \(\frac{dy}{dx}\) para concluir \[ \frac{d f^p(x)}{dx}=pf^{p-1}(x)\frac{df(x)}{dx} \]

Tazas relacionadas

Una aplicación de la diferenciación implícita es analizar las derivadas de dos funciones que están relacionadas. En varias situaciones se tienen que dos funciones que están relacionadas, por ejemplo si el precio aumente la demanda disminuye; si la valocidad aumentan el tiempo de traslado disminuye etc. Si dichas relaciones se pueden expresar de manera algebráica se puede diferenciar dicha expresión para encontrar una relación entre las derivadas (tazas de crecimiento) de las funciones.

El ejemplo más sencillo es la relación \[ xy=1. \] Esta define una hipérbola en el plano de la cual se puede ver que si \(x\) aumenta entonces \(y\) disminuye. Para ver esta relación con derivadas imaginamos que un punto se mueve sobre esta hipérbola, digamos parametrizamos su posición con las coordenadas \(x(t),y(t)\), donde \(t\) representa el tiempo. Así pues debemos de tener \(x(t)y(t)=1\), para todo \(t\). Si derivamos implícitamente la relación anterior obtenemos \[ x(t) \frac{dy(t)}{dt}+\frac{dx(t)}{dt} y(t)=0 \] multiplicando la relación anterior por \(x\ne 0\) y usando \(xy=1\) obtenemos \[ x^2(t) \frac{dy(t)}{dt}=-\frac{dx(t)}{dt} \] la cual da una relación muy precisa entre las dos derivadas (tazas de cambio) y de la cual se puede obtener información. Por ejemplo, ya que \(x^2>0\) es directo ver que el signo de las derivadas \(\frac{dx}{dt}\) y \(\frac{dy}{dt}\) siempre son distintos. Por lo tanto, si \(x\) aumenta \(y\) disminuye y viceversa.

Ejercicio

Sean \(u\) y \(v\) dos funciones diferenciables tal que podemos tomar \(u \circ v\). Denotemos \(y=v(x)\) y \(z=u(v(x))\). Usa la regla de la cadena para justificar la notación: \[ \frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx}. \]

Ejercicio

En un tanque en forma de cono circular recto invertido se vierte agua a la razón de 720 \(cm^3/min\). El tanque tiene una altura de 200 cm y el radio en la parte superior es de 60 cm. ¿Cuán rápido sube el nivel de agua cuando el tanque está a un octavo de su capacidad ? ¿Cuanto se tarda en llenar el tanque? El volumen de un cono circular recto de altura \(h\) y de radio \(r\) es de \(V=\frac{1}{3}\pi r^3h\).

Ejercicio

Arena cae sobre una montículo de forma cónica a una tasa constante de 10 \(cm^3/s\). Si la altura del cono siempre es tres octavos del diámetro de la base determina:
  1. ¿Cómo cambia la altura del cono.?
  2. ¿Cómo cambia la altura y el radio del cono en el instante en que la altura del cono ha alcanzado los 60 cm ?

Ejercicio

Supón que la relación de demanda de cierto producto es \(p+2q+pq=38\), donde \(q\) se mide en miles de unidades y \(p\) es el precio en dólares por unidad. Supón además que el precio \(p\) (y en consecuencia la demanda \(q\)) cambia semanalmente, es decir \(p\) es una función del tiempo.
  1. ¿A qué ritmo está cambiando la demanda si el precio está disminuyendo a razón de 0.40 dólares por semana, a un nivel de demanda de \(q=4\).
  2. ¿Qué ocurre ahora si el precio está aumentando a razón de 0.20 dólares por semana al mismo nivel de demanda ?