Cálculo UNO

§ 13

Continuidad

Introducción

La noción formal de continuidad tomó varios años en desarrollarse tal vez porque a primera vista parece algo sencillo. En términos de la gráfica de una función, una función es continua si se puede dibujar su gráfica "de manera continua", "sin despegar el lápiz" o "de tal forma que no tenga saltos". Fue Cauchy el que usó la idea de límite para definir la continuidad y tal vez más importante define la noción de continuidad para un punto, no en términos de toda la gráfica si no que fija un punto \(x_0\) en el dominio de la función y define la continuidad en \(x_0\) analizando el comportamiento de los valores de la función cercanos a \(x_0\).

Definición

Sea \(f\) una función definida en una vecindad de \(a\). Decimos que \(f\) es continua en \(a\) si, \[ \lim_{x\to a}f(x)=f(a). \]

Lo que nos está diciendo el límte anterior es que los valores de la función cercanos al punto \(a\) se van aproximando a \(f(a)\). Hay importante resaltar que a pesar que los valores de la función se van aproximando a valor \(f(a)\) ésto no quiere decir que se están aproximando de una manera sencilla. En los ejemplos que siquen se pueden ver que la función puede oscilar mucho cerca de un punto y sin embargo la función es continua en un punto dado.

Otro aspecto importante es que la definición de continuidad es local, es decir, cerca del punto donde se está haciendo el análisis. Si uno se mueve a otro punto en el domino de la función la continuidad pude perderse. Por esta razón las funciones que tienen "mejores" propiedades (por decirlo de alguna forma) son aquellas que son continuas en todo su dominio de definición.

Ejemplos y no-ejemplos

Ejemplos

  1. Por el Ejercicio 5.9 tenemos que la función identidad, \(f(x)=x\) es continua en todo punto. La continuidad en todos los puntos de su dominio se ve reflejada en la gráfica de la función pues, intuitivamente, la gráfica se dibuja de manera continua (sin "despegar el lápiz").
  2. De manera similar, por el Ejercicio 5.15, toda función polinomial \(p(x)=\sum_{k=0}^n a_kx^k\), es continua en todo punto.
  3. De forma más general el Ejercicio 7.26 nos dice que si una función \(f\) es diferenciable en un punto \(a\) entonces \(f\) es continua en el punto \(a\). Así pues diferenciabilidad implica continuidad, pero no al contrario (ver Ejercicio 12.5).

  4. Hasta ahora los ejemplos que se han mencionado son "bonitos" pues las funciones han sido continuas en todos los puntos de su dominio y en consecuencia sus gráficas se dibujan "continuamente". El siguiente ejemplo muestra que una función puede ser continua en un punto \(a\) y su gráfica puede tener muchos "trozos" alrededor del punto \(a\).

    Definimos \(f:[-1,1]\to \mathbb{R}\) por \begin{eqnarray*} f(x)=\left\{ \begin{array}{cc} \frac{(-1)^n}{n+1} & \frac{1}{n+1} < |x| \leq \frac{1}{n} \\ 0 & x=0 \end{array} \right. \end{eqnarray*}

    Nota que ésta función "da muchos saltos" cerca del cero y sin embargo vamos a probar que \(f\) es continua en cero.

    Ya que \(f(0)=0\), para probar la continuidad de ésta función en cero debemos de probar \(\lim_{x\to 0} f(x)=0\). Usando la definición de epsilon-delta, debemos de probar que para toda \(\varepsilon >0\) existe \(\delta >0\) tal que si \(|x|<\delta \) entonces \(|f(x)| < \varepsilon\).

    Ahora, por la propiedad Arquimideana existe \(N\in \mathbb{N}\) tal que \(\frac{1}{N}< \varepsilon\). Tomamos \(\delta = \frac{1}{N}\) y \(x\in [-1,1]\) con \(0<|x|<\delta\). Al calcular \(f(x)\) encontramos el natural \(n\) tal que \(\frac{1}{n+1}< |x| \leq \frac{1}{n}\). Se sigue que \(\frac{1}{n+1}< |x|< \delta = \frac{1}{N}\), por lo tanto \[ |f(x)|=\left| \frac{(-1)^n}{n+1} \right|= \frac{1}{n+1}< \frac{1}{N}< \varepsilon. \] Concluimos pues que \(\lim_{x\to 0} f(x)=f(0)=0\).

No-ejemplos

A parte de los ejemplos, los no-ejemplos son ilustrativo.

  1. Considera la función \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) dada por \[ f(x)=\left\{ \begin{array}{cc} 1 & x < 0 \\ 2 & x \geq 0 \end{array} \right. \] La función no es continuia en \(x=0\) pues el límite \(\lim_{x\to 0} f(x)\) no existe ya que los límites laterales son \[ \lim_{x\to 0^-} f(x)=1, \lim_{x\to 0^+} f(x)=2 \] los cuales son distintos.
  2. Considera la función \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) dada por \[ f(x)=\left\{ \begin{array}{cc} 1 & x\ne 0 \\ -2 & x =0 \end{array} \right. \] La función no es continua en \(x=0\) pues a pesar de que el límite \(\lim_{x\to 0} f(x)=1\) existe, no es igual al valor de la función en \(x=0\), que es \(f(0)=-2\).
  3. La función de Dirichlet está dada por \(D:[0,1]\to \mathbb{R}\) \[ D(x)=\left\{ \begin{array}{cc} 1 & x \in \mathbb{Q} \\ 0 & x \notin \mathbb{Q} \end{array} \right. \]
    4. Para cualquier punto \(x_0\in [0,1]\), \(D\) no es continua en \(x_0\) pues el límite \(\lim_{x\to x_0}D(x)\) no existe, razón: supongamos que el límite existe y es igual a un númeor \(L\), \[ \lim_{x\to x_0} D(x)=L, \] para \(\varepsilon =1/3\), existe una vecindad perforada donde \(|D(x)-L|< 1/3\) para todo \(x\) en la vecindad. Ahora, si \(x\) es racional entonces \(| 0 -L|< 1/3\) es decir \(-1/3< L< 1/3\); si \(x\) es irracional \(|1-L|< 1/3\) y al abrir el valor absoluto lleva a que \( 2/3< L< 4/3 \), contradiciendo la desigualdad anterior.

Ejercicio

Sea \(f\) una función definida en una vecindad de \(a\). Demuestra que \(f\) es continua en \(a\) si y sólo si \[ \lim_{h\to 0} f(a+h)=f(a) \]

Este ejercicio es simplemente una forma diferente de escribir el límite \(\lim_{x\to a} f(x)=f(a)\). Iniciamos escribiendo los límites relevantes usando la notación de \(\varepsilon, \delta\).

Para \(\lim_{x\to a} f(x)=f(a)\) tenemos que para toda \(\varepsilon >0\) existe \(\delta > 0\) tal que \begin{equation}\label{Ejer:EqnEquivNotacionContinuidad1} 0<|x-a |<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)| < \varepsilon. \end{equation}

Para \(\lim_{h\to 0} f(a+h)=f(a)\) tenemos que para toda \(\varepsilon > 0\) existe \(\delta >0\) tal que \begin{equation}\label{Ejer:EqnEquivNotacionContinuidad2} 0<|h|<\delta \Rightarrow |f(a+h)-f(a)| < \varepsilon. \end{equation}

Sólo notamos que para pasar de \eqref{Ejer:EqnEquivNotacionContinuidad1} a \eqref{Ejer:EqnEquivNotacionContinuidad2} tomamos \(h=x-a\) y para pasar de \eqref{Ejer:EqnEquivNotacionContinuidad2} a \eqref{Ejer:EqnEquivNotacionContinuidad1} tomamos \(x=a+h\).

Ejercicio

Demuestra que la función \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) dada por \(f(x)=|x|\) es continua en todo punto de \(\mathbb{R}\) pero no es diferenciable en \(x=0\).

Nota: este ejercicio muestra que continuidad no implica diferenciabilidad.

Ejercicio

Encuentra los puntos donde las siguientes funciones son continuas.

Nota: por \(\lfloor x \rfloor\) denotamos a el mayor entero menor a igual a \(x\), por ejemplo \(\lfloor 2.75 \rfloor =2 , \lfloor -1.2 \rfloor= -2\). Nota que se tiene \(\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor +1\).

  1. la función \(f(x)=\lfloor x \rfloor\), \(x\in \mathbb{R}\).
  2. la función \(f(x)=\lfloor \frac{1}{x} \rfloor\), \(x\in \mathbb{R}\), \(x\ne 0\).
  3. la función \(f(x)=\lfloor \sqrt{x} \rfloor\), \(x\in \mathbb{R}\), \(x\geq 0\).
  4. la función \(f(x)=\lfloor x^2 \rfloor\), \(x\in \mathbb{R}\).
Video

Ejercicio

Considera la función \(f(x)=x(-1)^{\lfloor x \rfloor }\), para \(x\ne 0\). ¿ Puede definirse \(f(0)\) para que \(f\) sea continua en \(0\)?

Nota: por \(\lfloor x \rfloor\) denotamos a el mayor entero menor a igual a \(x\).

Ejercicio

Considera la función de Dirichlet \(D:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) dada por \[ D(x)= \left\{ \begin{array}{cc} 1, & \textrm{\(x\) racional,} \\ 0 ,& \textrm{\(x\) irracional.} \end{array} \right. \] y considera las funciones \(g(x)=xD(x), h(x)=x^2D(x)\), \(x\in \mathbb{R}\).
  1. Prueba que \(h\) es diferenciable en \(x=0\) (y por lo tanto continua en \(x=0\)).
  2. Prueba que \(g\) es continua en \(x=0\) pero no es diferenciable en \(x=0\).
Video

Teorema

Sea \(f\) una función definida en una vecindad del punto \(L\) y continua \(L\). Sea \(g\) una función definida en una vecindad agujereada de \(a\) tal que \(\lim_{x\to a}g(x)=L\)

Prueba que \[ \lim_{x\to a}f(g(x))=f(L) \]

Lo cual se puede escribir como \[ \lim_{x\to a} f(g(x))=f(\lim_{x\to a} g(x)) \] es decir, podemos "meter el límite" para funciones continuas (¡siempre y cuando el límite de adentro exista!).

Ejercicio

Sea \(g\) una función definida en una vecindad de \(x_0\) y continua en \(x_0\). Sea \(f\) una función definida en una vecindad de \(g(x_0)\) y continua en \(g(x_0)\). Demuestra que la composición \(f \circ g\) es continua en \(x_0\).

Sugerencia: aplica directamente el ejercicio anterior.

Ejercicio

Proporciona ejemplos de funciones \(f\) y \(g\) tales que
  1. Ni \(f\) ni \(g\) son continuas en \(1\), pero \(f+g,f-g\), \(fg\) son continuas en \(1\).
  2. \(g\) es discontinua en \(0\), \(f\) es discontinua en \(g(0)\) pero \(f\circ g\) es continua en \(0\).

Definición

Sea \(f\) una función definida en un intervalo de la forma \([a,b)\). Decimos que \(f\) es continua por la derecha en \(a\) si \[ \lim_{x\to a^+}f(x)=f(a). \] Sea \(f\) una función definida en un intervalo de la forma \((a,b]\). Decimos que \(f\) es continua por la izquierda en \(b\) si \[ \lim_{x\to b^-}f(x)=f(b). \]

Ejercicio

Sea \(f\) una función definida en una vecindad de \(a\). Prueba que \(f\) es contina en \(a\) si y sólo si \(f\) es continua por la derecha y por la izquierda en \(a\).

Definición

Decimos que una función \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) es continua en \([a,b]\) si:
  1. para todo \(c \in (a,b)\), \(\lim_{x\to c}f(x)=f(c)\);
  2. \(\lim_{x\to a^+} f(x)=f(a)\);
  3. \(\lim_{x\to b^-}f(x)=f(b)\).

Ejercicio

Sea \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) una función continua en todo \([a,b]\).
  1. Demuestra que la función \(|f|\) es continua en todo \([a,b]\).
  2. ¿ Es el regreso del inciso anterior cierto? Es decir, si \(|f|\) es continua en \([a,b]\) entonces \(f\) es continua en \([a,b]\). Demostrar o dar un contraejemplo.

Ejercicio

Sean \(g:[a,b]\to [c,d]\), \(f:[c,d]\to \mathbb{R}\) funciones continuas en \([a,b]\) y \([c,d]\), respectivamente. Demuestra que la composición \(f \circ g:[a,b]\to \mathbb{R}\) es continua en todo \([a,b]\).

Ejercicio

Sea \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) una función continua en todo \([a,b]\) y sea \(g:[b,c]\to \mathbb{R}\) una función continua en todo \([b,c]\). Prueba que si \(f(b)=g(b)\) entonces la función \(h:[a,c]\to \mathbb{R}\) dada por \[ h(x)=\left\{ \begin{array}{cc} f(x) & a\leq x \leq b \\ g(x) & b< x\leq c \end{array} \right. \] es continua en todo \([a,c]\).
Video

Ejercicio

En cada inciso, determina los valores de los parámetros dados para que la función sea continua en el intervalo dado.
  1. \(f:[0,3] \to \mathbb{R}\) dada por \[ f(x)=\left\{ \begin{array}{cc} \sqrt{1-x^2} & 0\leq x \leq 1 \\ mx+b & 1< x\leq 2 \\ 3 & 2< x \leq 3 \end{array} \right. \] Determina \(m\) y \(b\)
  2. \(g:[0,\infty)\to \mathbb{R}\) dada por \[ g(x)=\left\{ \begin{array}{cc} mx+b & 0\leq x < 2 \\ 8 & x=2 \\ (x-a)^2 & 2< x \end{array} \right. \] Determina \(a,b\) y \(m\). Advertencia: hay múltiples soluciones.

Definición

Sea \(f: D \to \mathbb{R}\) una función. Decimos que \(f\) es Lipschitz en \(D\) si existe \(M>0\) tal que \[ |f(x)-f(y)| \leq M |x-y|, \quad \textrm{para toda \(x,y \in D\).} \] Más en general, para un \(\alpha \in (0,1]\) decimos que \(f\) es \(\alpha\)-Lipschitz en \(D\) si existe \(M>0\) tal que \[ |f(x)- f(y)| \leq M |x-y|^\alpha, \quad \textrm{para toda \(x,y \in D\).} \]

Ejercicio

Usando diferencia de cuadrados muestra que la función \(f(x)=x^2\) es Lipschitz en cualquier intervalo de la forma \([a,b]\).

Ejercicio

Da un ejemplo de una función \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) que sea Lipschitz continua en \([a,b]\) pero no sea diferenciable en una infinidad de puntos en \([a,b]\).

Ejercicio

Sea \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) continua en \([a,b]\) y diferenciable en \((a,b)\). Si existe \(M>0\) tal que si \(|f'(x)| \leq M\), para toda \(x\in (a,b)\), demuestra que, para cualesquiera \(x_1,x_2\in [a,b]\): \[ |f(x_1)-f(x_2)| \leq M |x_2-x_2| \] es decir, \(f\) es Lipschitz continua en \([a,b]\).