Sea $U\ne \emptyset$ un abierto en $\mathbb{R}^n$,
$f:U\to \mathbb{R}$ una función y $p_0\in U$.
Decimos que $p_0$ es un mínimo local para
$f$ si existe $r>0$ tal que, para toda $p\in B_r(p_0)$
$$
f(p_0) \leq f(p)
$$
Decimos que $p_0$ es un máximo local para
$f$ si existe $r>0$ tal que, para toda $p\in B_r(p_0)$
$$
f(p) \leq f(p_0)
$$
Decimos que $p_0$ es un punto silla para
$f$ si para todo $r>0$, tal que $B_r(p_0) \subset U$,
existen puntos $p\in B_r(p_0)$ para los cuales
$f(p) < f(p_0)$ y existen otros puntos $q\in B_r(p_0)$
para los cuales $f(p_0) < f(p)$.
Nota: Si $p_0$ es un máximo o mínimo local
para $f$, se dice que $p_0$ es un punto extremo de $f$.
Ejercicio
Encuentra $c>0$ tal que la función $f(x,y)=x^2+xy+cy^2$ tiene un
punto silla en $(0,0)$.
$f$ es una forma cuadrática, por lo que coincide con su Hessiano
y de esta manera afirmamos que su matriz Hessiana es
\begin{equation*}
H=
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & 2c
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
Si $H$ es positiva definida entonces $(0,0)$ es un mínimo local,
si es negativa entonces es un máximo local, entonces tenemos que
encontrar para qué valores de $c$ la matriz tiene un valor propio
positivo y otro negativo.
\begin{align*}
det H = (2-\lambda)(2c-\lambda)-1,\\
=& \lambda^2 + \lambda(-2 - 2c) + (4c-1),
\end{align*}
tiene soluciones $\lambda = 1+c \pm \sqrt{c^2 - 2c + 2}$, claramente
en el caso de la suma $\lambda$ es estrictamente positivo, por lo que
para que el segundo valor propio sea negativo es necesario que
\begin{equation*}
1 + c < \sqrt{c^2 - 2c + 2},
\end{equation*}
lo cual es equivalente a que $(1+c)^2 < c^2 -2c + 2$, dado que el
término cuadrático aparece en ambos lados de la desigualdad se puede
cancelar y basta despejar a $c$ para obtener que $0< c < 1/4$.
Ahora buscamos una dirección en la que siempre podamos encontrar vectores
$(x,y)$ de norma arbitrariamente pequeña tales que $f(x,y)<0$, proponemos
$y=-mx$ para alguna $m>0$ y sustituimos en $f$:
\begin{equation*}
f(x,y) = x^2 - x(mx) +(0.2)(-mx)^2 = x^2 - mx^2 + 0.2m^2x^2 < 0,
\end{equation*}
como $x^2 > 0$ si $x \neq 0$ entonces podemos cancelarlo para obtener
un polinomio de grado 2 en $m$
\begin{equation*}
0.2m^2 - m + 1,
\end{equation*}
éste corresponde a una parábola que abre hacia arriba por lo que el conjunto
de valores para los cuales $f$ es negativo será vacío, un punto, o un intervalo.
Aplicamos la fórmula para encontrar ceros de polinomios de grado 2 para obtener
que $m = \frac{1 \pm \sqrt{0.2}}{2}$, por lo que al considerar $m \in
(\frac{1 - \sqrt{0.2}}{2},\frac{1 + \sqrt{0.2}}{2})$ se asegura que $f(x,-mx)<0$
y por lo tanto $(0,0)$ es un punto silla.
Proposición
Sea $U\ne \emptyset$ un abierto de $\mathbb{R}^n$,
$f:U\to \mathbb{R}$ y $p_0\in U$.
Demuestra que si
$p_0$ es un punto extremo de $f$ y $f_0$ es diferenciable
en $p_0$, entonces $\nabla_{p_0}f=0$, es decir, todas
las derivadas parciales de $f$ es anulan en $p_0$.
Da un ejemplo de una $f$ y un $p_0$, tal que
$f$ tenga un punto extremo en $p_0$, pero $f$
no sea diferenciable en $p_0$
Sin pérdida de generalidad supongamos que \(p_0\) es un máximo local para \(f\).
Fijamos un vector \(u\in \mathbb{R}^n\) con \(\|u\|=1\), definimos la curva
\(\gamma(t)=p_0+tu\) y la función 1-dimensional \(g(t)=f(\gamma(t))\). Nota que
\(g\) es diferenciable (por la regla de la cadena).
Ya que \(f\) tiene un máximo local en \(p_0\) se sigue que \(g\) tiene un máximo local en
\(t=0\). De cálculo 1 se sigue que \(g'(0)=0\) y por la regla de la cadena lo anterior se puede
escribir como
\[
0=g'(0)=\langle \nabla_{p_0}f, \gamma'(0)\rangle= \langle \nabla_{p_0}f, u \rangle
\]
Ahora, ya que el vector \(u\) es un vector unitario arbitrario la igualdad anterior implica que
\(\nabla_{p_0}f=0\).
Considermos la función \(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\). La gráfica de la función es un cono con vértice
en el origen. Al intentar calcular la derivada parcial con respecto a \(x\) en \((0,0)\) llegamos
\[
\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{h^2}}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{|h|}{h}
\]
y dicho límite no existe.
Sin embargo \((0,0)\) es un mínimo local.
Teorema
Sea $U\ne \emptyset$ un abierto de $\mathbb{R}^n$ y
$f:U\to \mathbb{R}$ una función de clase $C^1$ en $U$
y $p_0\in U$ un punto crítico de $f$.
Demuestra que si $H_{p_0}f$ es definitivamente
positivo entonces $p_0$ es un mínimo local
para $f$.
Demuestra que si $H_{p_0}f$ es definitivamente
negativo entonces $p_0$ es un máximo local para $f$.
Supongamos que \(H_{p_0}f\) es positivo definido. Debemos de probar que
\(f(p)\geq f(p_0)\) para \(p\) en una bola abierta centrada en \(p_0\).
Por el Teorema de Taylor existe una bola
\(B_r(p_0)\) tal que
\[
f(p_0+h)=f(p_0)+\sum_{i=1}^n \partial_{p_i}f(p_0)h_i +
\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^n \partial_{p_i,p_j}^2f(p_0)h_ih_j
+E_{p_0}(h)
\]
para \(\|h\|< r\) y \(\lim_{h\to 0}\frac{|E_{p_0}(h)|}{\|h\|^2} =0\).
Pero \(p_0\) es un punto crítico, por lo que \(\partial_{p_i}f(p_0)=0\) para toda \(i\) por lo
que la ecuación anterior se reduce a
\begin{eqnarray*}
f(p_0+h)&=&f(p_0)+
\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^n \partial_{p_i,p_j}^2f(p_0)h_ih_j
+E_{p_0}(h)
\end{eqnarray*}
Además al ser \(H_{p_0}f\) positiva definida
por el Ejercicio 14.5
existe un \(k>0\) tal que para toda \(h=(h_1,\dots, h_n)\)
\[
\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^n \partial_{p_i,p_j}^2f(p_0)h_ih_j \geq k \|h\|^2
\]
Además ya que \(\lim_{h\to 0}\frac{|E_{p_0}(h)|}{\|h\|^2} =0\) existe un \(\delta >0\) tal que
se cumple que
\begin{eqnarray*}
\frac{|E_{p_0}(h)|}{\|h\|^2} < \frac{k}{2} & \Rightarrow & \frac{E_{p_0}(h)}{\|h\|^2}> -\frac{k}{2} \\
&\Rightarrow &E_{p_0}(h) \geq -\frac{k}{2}\|h\|^2
\end{eqnarray*}
siempre que \(\|h\|< \delta\).
Por lo tanto para todo \(h\) con \(0< \|h\|< \delta\) se sigue que
\begin{eqnarray*}
f(p_0+h)&=&f(p_0)+\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^n \partial_{p_i,p_j}^2f(p_0)h_ih_j+E_{p_0}(h) \\
&\geq & f(p_0)+ k\|h\|^2-\frac{k}{2}\|h\|^2 \\
&=& f(p_0)+\frac{k}{2}\|h\|^2
\end{eqnarray*}
Concluimos que para todo \(0<\|h\| < \delta \)
\[
f(p_0+h)-f(p_0) \geq k\|h\|^2 > 0 \Rightarrow f(p_0+h) > f(p_0)
\]
por lo que \(p_0\) es un mínimo relativo.
Ejercicio
Considera la función $f(x,y)=x^2+y^4$. Demuestra
que $f$ tiene un mínimo en $p_0=(0,0)$ y sin embargo
$H_{p_0}f$ no es positivo definido.
Ya que \(f(x,y)\geq 0\) para todo \((x,y)\) y \(f(0,0)=0\) es claro que
\(f\) tiene un mínimo en \(p_0\).
Para calcular el Hessiano iniciamos calculando las parciales
\begin{eqnarray*}
\partial_x f = 2x \\
\partial_y f = y^3 \\
\partial_{xx}^2 f = 2 \\
\partial_{yy}^2 f = 3y^2 \\
\partial_{xy}^2 f = 0
\end{eqnarray*}
Por lo tanto el Hessiano es
\begin{eqnarray*}
H_{(0,0)}f(x,y)&=&\frac{1}{2}(\partial_{xx}^2f(0,0) x^2+\partial_{xy}^2f(0,0)xy+\partial_{yx}^2f(0,0)yx+\partial_{yy}^2f(0,0)y^2 ) \\
&=& \frac{1}{2}( 2x^2+ 0*xy+0*y^2 )\\
&=&x^2
\end{eqnarray*}
Ya que \(H_{(0,0)}f(0,1)=0\) y \((1,0)\ne 0\), el Hessiano \(H_{(0,0}f\) no es
positivo definido.
Ejercicio
Para las funciones dadas,
encuentra los puntos críticos y determina si son
máximos locales, mínimos locales o puntos silla.
$f(x,y)=y+x\sen(y)$,
$f(x,y)=x^2+(y-1)^2$,
$f(x,y)=x^3+y^3-3xy$.
Ejercicio
Considera la función $f(x,y)=3x^4-4x^2y+y^2$.
Prueba que, para cada línea por el origen $y=mx$, la función
alcanza un mínimo sobre dicha línea.
Prueba que no existe un mínimo local en $(0,0)$.
Haz un bosquejo de los puntos $(x,y)$ en el plano para los cuales
$f(x,y)>0$ y para los cuales $f(x,y) < 0$.
Ejercicio
Método de mínimos cuadrados
Dados $n$ números distintos,
$x_1,\dots, x_n$ y otros $n$ números $y_1,\dots y_n$
(no necesariamente distintos), por lo general
no es posible encontrar una función de la
forma $f(x)=ax+b$, que satisfaga $f(x_i)=y_i$,
para toda $i$. Sin embargo se puede
tratar de encontrar una función que minimize el error cuadrado
$$
E(a,b)=\sum_{i=1}^n (f(x_i)-y_i)^2
$$
Determinar los valores de $a$ y $b$ que hagan esto.
Empecemos por notar que
\begin{equation*}
k = (0x_1 + (y_1 + k) - y_1)^2 \leq E(0,y_1+k),
\end{equation*}
por lo que el error no está superiormente acotado, al buscar puntos
críticos únicamente encontraremos mínimos o puntos silla.
Los puntos críticos se encontran cuando el gradiente se anula, por
lo que comenzamos por calcular el gradiente en puntos arbitrarios,
\begin{align*}
\frac{\partial E}{\partial a} =& \sum_{i=1}^n 2(ax_i + b - y_i)x_i,\\
\frac{\partial E}{\partial b} =& \sum_{i=1}^n 2(ax_i + b - y_i,
\end{align*}
lo anterior da lugar a un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:
\begin{align*}
\sum_{i=1}^n 2(ax_i + b - y_i)x_i = 0,\\
\sum_{i=1}^n 2(ax_i + b - y_i = 0,
\end{align*}
podemos empezar por dividir ambos lados por 2 y luego despejar $b$ de la segunda ecuación:
\begin{equation*}
b= \frac{\sum_{i=1}^n y_i - a(\sum_{i=1}^n x_i)}{\sum_{i=1}^n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i - a \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i = \overline y - a \overline x,
\end{equation*}
con $\overline x,\overline y$ los promedios de los $x_i$ y $y_i$, respectivamente.
Ahora sustituimos en la primera ecuación para encontrar $a$
\begin{align*}
a =& \frac{\sum_{i=1}^n x_i(y_i-\overline y}{\sum_{i=1}^n x_i(x_i-\overline x},\\
=& \frac{\sum_{i=1}^n (x_i- \overline x + \overline x)(y_i - \overline y)}{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline x + \overline x)(x_i - \overline x)},\\
=& \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline x)(y_i - \overline y) \sum_{i=1}^n \overline x (y_i - \overline y)}{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline x)^2 + \sum_{i=1}^n \overline x (x_i - \overline x)},\\
=& \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline x)(y_i - \overline y) + n(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \overline x (y_i - \overline y))}{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline x)^2 + n (\frac{1}{n} \sum \overline x (x_i - \overline x))},\\
=& \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline x)(y_i - \overline y) + n(\overline x \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i - \frac{1}{n} n \overline x \overline y)}{\sum (x_i - \overline x)^2 + n (\overline x \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i - \frac{1}{n} n \overline x^2)},\\
=& \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline x)(y_i - \overline y)}{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline x)^2},
\end{align*}
sustituimos nuevamente en $b$ y tenemos
$b = \overline y - \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline x)(y_i - \overline y)}{\sum_{i=1}^n (x_i - x)^2}$.
Ejercicio
Sean $z_1,\dots, z_k $, $k$ puntos distintos en $\mathbb{R}^n$.
Para $x\in \mathbb{R}^n$ define
$$
f(x)=\sum_{j=1}^k \| x- z_k\|^2
$$
Prueba que $f$ alcanza su mínimo en el punto
$\frac{1}{k}\sum_{j=1}^k z_j$ (conocido como el centroide de los
puntos $z_1,\dots, z_k$).
Definición
Sea $D\ne \emptyset$ un subconjunto de $\mathbb{R}^n$
(no necesariamente abierto) y $f:D\to \mathbb{R}$
una función (no necesariamente diferenciable).
Decimos que $f$ alcanza su máximo absoluto en
un punto $p_0\in D$ si, para todo $p\in D$,
$$
f(p)\leq f(p_0).
$$
Decimos que $f$ alcanza su mínimo absoluto en
un punto $p_0\in D$ si, para todo $p\in D$,
$$
f(p_0)\leq f(p).
$$
Teorema
Sea $C$ un subconjunto compacto de $\mathbb{R}^n$ (es decir, cerrado y acotado) y
$f:C \to \mathbb{R}$ una función continua en todo punto de $C$.
Entonces, existen almenos un $p_*, p^* D$ tales que
$f$ alcanza su mínimo absoluto en $p_*$ y su máximo
absoluto en $p^*$.
Sólo se probará el resultado para máximos pues para mínimos es similar.
Primero probamos que el conjunto
\[
f(C)=\{f(p): p\in C \}
\]
es un subconjunto acotado superiormente, lo cual se hace por contradicción.
Si \(f(C)\) no es acotado superiormente, para todo \(n \in \mathbb{N}\) existe un \(q_n\in C\)
tal que \(f(q_n) > n \). Aplicando el Teorema de Weirestrass a la sucesión \((p_n)_{n=1}^\infty\)
podemos encontrar una subsucesión \((q_{n_m})_{m=1}^\infty\) y un punto \(q\in C\) tal que
\(\lim_{m\to \infty} q_{n_m}=q\). Por continuodad de \(f\), \(\lim_{m\to \infty} f(q_{n_m})=f(q)\),
pero ya que \(f(q_{n_m})> n_m\) tomando límite llegamos a que \(f(q)\geq \infty\), una contradicción.
Denotemos \(\alpha= \sup_{p \in C}\{ f(p)\}\). Por la propiedad fundamental del supremo, para toda
\(\varepsilon >0\) existe un punto \(p\in C\) tal que
\[
\alpha - \varepsilon < f(p) \leq \alpha
\]
Variando \(\varepsilon = 1/n\), \(n=1,2,\dots\), podemos construir una sucesión
de puntos en \(C\) tal que, \(\alpha- 1/n < f(p_n)\leq \alpha\) lo que lleva a
\[
\lim_{n\to \infty} f(p_n)=\alpha
\]
Por el Teorema de Bolzano Weirestrass existe un punto \(p^*\in C\) y una subsucesión \((p_k)_{k=1}^\infty\)
tal que \(\lim_{k\to \infty}p_{n_k}=p^*\).
Finalmente, al ser \(f\) continua se tiene
\[
\lim_{k\to \infty} f(p_{n_k})=f(p^*)
\]
por lo que concluimos
\[
f(p^*)=\alpha = \sup_{p\in C}\{f(p) \}
\]
es decir, \(f\) alcanza su máximo absoluto en \(p^*\).
Nota
Con las herramientas revisadas hasta ahora se puede dar un método para
encontrar máximos/mínimos absolutos sobre conjuntos abiertos con cerradura compacta.
Sea \(U\) un abierto acotado de \(\mathbb{R}^n\) y
\(f:\overline{U}\to \mathbb{R}\) una función continua en \(\overline{U}\) y diferenciable en \(U\).
Ya que \(\overline{U}\) es cerrado y acotado resulta ser un conjunto compacto y por lo tanto
\(f\) alcanza su máximo y mínimo. Para encontrar el máximo/mínimo se procede:
Se encuentran los puntos críticos de \(f\) en \(U\).
Se determinan si los puntos críticos son máximos relativos, mínimos relativos o puntos silla.
Se encuentran máximos/mínimos de la función \(f\) restringido a la frontera de \(\overline{U}\).
Por lo general la dimensión de \(\partial \overline{U}\) es una menos que la de \(U\) lo cual
reduce el problema de encontrar los máximos/mínimos de \(f\) en \(\partial \overline{U}\) y para
lo cual se parametriza la frontera.
Calcular los valores de \(f\) en los puntos críticos y en los máximos/mínimos en la frontera.
El mayor de estos valores es el máximo absoluto y el menor es el mímimo absoluto.
Nota: un punto \(p\) se llama punto frontera de un conjunto \(A\) si para todo \(r>0\),
\(B_r(p)\cap A\ne \emptyset\) y \(B_r(p)\cap A^c \ne \emptyset\). Al conjunto de
puntos frontera de \(A\) se le denota por \(\partial A\).
Ejercicio
Hallar los valores máximos y mínimos absolutos
de la función $f(x,y)=ax^2+by^2-1$,
definida en $ax^2+by^2 \leq 1$, (donde $a$ y $b$ son constantes positivas).
Ejercicio
Determina los máximos, mínimos relativos y absolutos,
así como los puntos silla de la función $f(x,y)=xy(1-x^2-y^2)$
en el cuadrado $0\leq x \leq 1$,
$0 \leq y \leq 1$.
Ejercicio
Halla los valores máximos y mínimos absolutos
para $f(x,y)=\sen(x)+\cos(y)$, en el rectángulo
$[0,2\pi]\times [0, 2\pi]$.
Definición
Sea $U$ un abierto de $R^2$. Una función $u:U \to R$
se llama estrictamente sub-armónica en $U$ si
$$
\partial_{x}^2u(p)+\partial_{y}^2u(p) >0,
\quad \textrm{para todo punto $p \in U$}
$$
Por ejemplo $u(x,y)=x^2+y^2$ es estrictamente
sub-armónican en cualquier abierto de $R^2$ pues
\(\partial_x^2 u +\partial_y^2 u = 2+2 >0\).
Proposición
Por $U \subseteq \mathbb{R}^2$ denotamos un conjunto abierto
tal que su cerradura $\overline{U}$, sea compacta.
Sea $u:\overline{U}\to R$ una función continua en \(\overline{U}\) y clase
$C^2$ en el abierto $U$ y supon que $u$ es estrictamente
sub-armónica en $U$.
Entonces el máximo de $u$ se alcanzan en la frontera de $U$.
Por contradicción.
Supongamos que existe $p_0=(x_0,y_0)\in U$ con
$$
u(p_0)=\max_{ p \in \overline{U}}\{ u(p) \}
$$
Por el Teorema de Taylor ,
si $h=(x,y)$ es un vector (de norma pequeña tal que $p_0+h \in U$) se tiene
\begin{eqnarray*}
u(p_0+h)&=& u(p_0)+ \partial_xf(p_0)x+\partial_yf(p_0)y \\
&+& \frac{1}{2}\left( \partial_x^2u(p_0)x^2+
2 \partial^2_{xy}u(p_0) xy + \partial_y^2u(p_0) y^2 \right) \\
&+& E_{p_0}(h)
\end{eqnarray*}
con $\lim_{h\to 0} \frac{E_{p_0}(h)}{\|h\|^2}=0$.
Como $p_0$ está en el interior necesariamente
debemos de tener $\nabla_{p_0} u=0$, es decir
$\partial_x u (p_0)=0=\partial_yu(p_0)$ por lo que obtenemos
\begin{eqnarray*}
u(p_0+h)-u(p_0)&=& \frac{1}{2}\left( \partial_x^2u(p_0)x^2+
2 \partial^2_{xy}u(p_0) xy + \partial_y^2u(p_0) y^2 \right) \\
&+& E_{p_0}(h)
\end{eqnarray*}
Tomando $h=(t,0)$, para $t>0$ y cercano a cero, tenemos
$$
u((x_0+t,0))-u((x_0,y_0))=\frac{t^2}{2}\partial_{x}^2u(p_0) +E_{p_0}((t,0))
$$
Dividiendo entre $t^2$ obtenemos
$$
\frac{u((x_0+t,0))-u((x_0,y_0))}{t^2}= \frac{\partial_{x}^2u(p_0)}{2}
+\frac{E_{p_0}((t,0)}{t^2}
$$
Como suponemos que $u$ alcanza su máximo en
$p_0$, $u((x_0+t,0))-u((x_0,y_0)) \leq 0$, por lo que
$$
\frac{\partial_{x}^2u(p_0)}{2}+\frac{E_{p_0}((t,0))}{t^2} \leq 0.
$$
De manera similar
$$
\frac{\partial_{y}^2u(p_0)}{2}+\frac{E_{p_0}((0,t))}{t^2} \leq 0
$$
Sumando las ultimas ecuaciones llegamos
$$
\frac{\partial_{y}u(p_0)}{2}+\frac{E_{p_0}((0,t))}{t^2}
+\frac{\partial_{x}^2u(p_0)}{2}+\frac{E_p((0,t))}{t^2} \leq 0
$$
tomando límite cuando $t\to 0$ concluimos que
$$
\partial_{x}^2u(p_0)+\partial_{y}^2u(p_0)\leq 0
$$
contradiciendo que $u$ sea estrictamente sub-armónica.
Proposición
Principio débil del máximo para funciones armónicas
Por $U \subseteq \mathbb{R}^2$ denotamos un conjunto abierto
tal que su cerradura $\overline{U}$, sea compacta.
Sea $u:\mathbf{U}\to R$ continua
en $\overline{U}$ y clase $C^2$ en $U$. Supon que $u$ es
armónica en $U$, es decir
$$
\partial_{x}^2u(p)+\partial_{y}^2u(p)=0,
\quad \textrm{para todo $p\in D$}
$$
Probar que si $u$ alcanza su máximo en $U$ entonces
también lo alcanza en $\partial U$.
Para $n\geq 1$ natural, definimos $u_n:\overline{U}\to R$
dada por
\[
u_n(x.y)=u(x,y)+\frac{1}{n}e^{x}
\]
Entonces $\partial_{x}^2 u_n +\partial_{y}^2 u_n
= (\partial_{x}^2u+\partial_{y}^2u)+\frac{1}{n}e^x=\frac{1}{n}e^x >0$,
por lo que $u_n$ es estrictamente sub-armónica en $U$.
Por la Proposición anterior, existe $p_n=(x_n,y_n) \in \partial U$ tal que
$$
u_n(p_n)=\max_{(x,y)\in \overline{U}}\{ u_n(x,y) \}
$$
Se sigue que, para todo $(x,y)\in U$
$$
u(x_n,y_n)+\frac{1}{n}e^{x_n} \geq u(x,y)+\frac{1}{n}e^x > u(x,y)
$$
Tomando máximo del lado derecho, variando
los $(x,y)\in \overline{U}$, llegamos a que
$$
u(x_n,y_n)+\frac{1}{n}e^{x_n} \geq \max_{(x,y)\in \overline{U}}\{u(x,y)\}
$$
Denotemos $M=\max_{(x,y)\in \overline{U}}\{u(x,y)\}$.
Concluimos que para toda $n$
$$
0 \leq M -u(p_n) < \frac{1}{n}e^{x_n}
$$
Ahora, como $\partial U$ es cerrado y acotado,
por Bolzano-Weirestrass exsite una subsucesión
$p_{n_k}=(x_{n_k},y_{n_k})$ y $p^*\in \partial U$
tal que $\lim_{k\to \infty} p_{n_k}=p^*$.
De la desigualdad, (válida para toda $k$)
$$
0 \leq M-u(p_{n_k}) < \frac{1}{n_k}e^{x_{n_k}}
$$
tomando límite cuando $k\to \infty$ se tiene
(usando la continuidad de $u$ ) que
$$
0\leq M -u(p^*) \leq 0
$$
por lo tanto existe $p^*\in \partial U$ com
$$
u(p^*)=\max_{(x,y)\in \overline{U}}\{u(x,y)\}.
$$
Corolario
Por $U \subseteq \mathbb{R}^2$ denotamos un conjunto abierto
tal que su cerradura $\overline{U}$, sea compacta.
Sea $u:\mathbf{U}\to R$ continua
en $\overline{U}$ y clase $C^2$ en $U$. Supon que $u$
es armónica en $U$, es decir
$$
\partial_{x}^2u(p)+\partial_{y}^2u(p)=0,
\quad \textrm{para todo $p\in D$}
$$
Para encontrar el máximo de $u$ en $\overline{U}$,
es suficiente encontrar
el máximo de $u$ restringido a la frontera $\partial U$.
Ejercicio
$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ de la forma $f(t)=mt+c$, donde
$m$ y $c$ son constantes.
Demuestra que el máximo y mínimo de
$f$, restringida al intervalo $[a,b]$ se alcanzan en los extremos
del intervalo.
Caso 1: \(m=0\).
En este caso la función es constante y el resultado es claro.
Caso 2: \(m>0\).
En este caso la función \(f\) es estrictamente creciente por lo que
el mínimo global se alcanza en el extremo izquierdo, \(a\) y
el máximo en el lado derecho, \(b\).
Caso 3: \(m< 0\).
En este caso la función \(f\) es estrictamente decreciente por lo que
el mínimo global se alcanza en el extremo derecho, \(b\) y
el máximo en el lado izquierdo, \(a\).
Corolario
Sea $U\subset \mathbb{R}^2$ una región poligonal,
abierta tal que $\overline{U}$ sea un compacto.
Sea $u:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ de la forma $u(x,y)=Ax+By+C$,
donde $A,B,C\in \mathbb{R}$ son constantes.
Entonces, el valor máximo de $u$ se alcanza en uno de los
vértices de $U$.
Primero notamos que
$$
\partial_x u(x,y)=A, \partial_x^2 u(x,y)=0,
\partial_yu(x,y)=B, \partial_y^2u(x,y)=0,
$$
por lo que $u$ es armónica en $U$, además de que
claramente es continua en
$\overline{U}$.
Por la proposición anterior, para encontrar
el máximo de $U$ es suficiente
encontrar el máximo de $u$, restringido a la frontera.
Después, notamos
que la frontera de $U$ está formada por segementos de recta, los cuales
se parametrizan de manera general como
$$
(1-t)(x_0,y_0)+t(x_1,y_1)=((1-t)x_0+tx_1, (1-t)y_0+ty_1), \quad t\in [0,1]
$$
donde $(x_0,y_0)$ y $(x_1,y_1)$ son los extremos del segmento.
Si restingimos $u$ a este segmento se convierte una función de la variable
$t$ con regla de correspondencia
$$
u((1-t)x_0+tx_1, (1-t)y_0+ty_1)= mt+c
$$
(para algunas constantes $m$ y $c$) la cual alcanza
su máximo en $t=0$ o en $t=1$. Por lo tanto, $u$,
restringida al segmento alcanza su máximo en $(x_0,y_0)$
o en $(x_1,y_1)$.
Finalmente, recorriendo
todos los segmentos de la frontera, obtenemos quel máximo se
alcanza en uno de los vértices.
Notas
Las mismas proposiciones se valen en dimensión $n \geq 2$.
Encontrar el máximo de $u$ en $\partial U$ en
general es más sencillo
que encontrar el máximo de $u$ en $\overline{U}$,
pues usualmente $\partial U$ tiene una
dimensión menos que la de $U$.
Los corolarios siguen siendo válidos si se reemplaza
máxmo por mínimo.
Ejercicio
Para las siguientes funciones armónicas, encuentra
el máximo y mínimo absolutos sobre la región dada.
$f(x,y)=\log(x^2+y^2)$, sobre el anillo
$S=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: 1\leq x^2+y^2\leq 4\}$.
$f(x,y)=e^y\cos(x)$, sobre el triángulo (relleno)
con vértices $(0,\log(5))$, $(-\pi,0)$, $(\pi,0)$.
$f(x,y,z)=x^2-y^2+z$, sobre la esfera
$S=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x^2+y^2+z^2=1\}$.
Ejercicio
Maximiza la función $f(x,y,z)=2x+3y+5z$ sujeto
a las restricciones $x\geq 0, y\geq 0, z\geq 0 $ y
$x+y+z \leq 1$.
