Sea \(U\subseteq \mathbb{R}^n\). Decimos que \(U\) es un subconjunto abierto de \(\mathbb{R}^n\) (o simplemente abierto) sii para todo punto \(p_0\in U\) exsite \(r> 0\) tal que \(B_r(p_0)\subseteq U\).
La idea sobre los conjuntos abiertos es que para todo punto de un abierto nos podemos aproximar al punto por cualquier dirección, permaneciendo siempre en el conjunto abierto.
Por ejemplo el vacío es abierto por vacuidad. Tambien el total, \(U=\mathbb{R}^n\), es abierto pues para todo punto \(p_0\in \mathbb{R}^n\) y toda bola tenemos \(B_r(p_0)\subset \mathbb{R}^n\).
Los conjuntos abiertos son importantes en cálculo pues van a ser los dominios de funciones para las cuales vamos a definir la derivada.
Toda bola abierta \[ B_r(p_0)=\{p\in \mathbb{R}^n: \| p-p_0\| < r \} \] es un subconjunto abierto.
La idea es encontrar la distancia entre un punto de la esfera y su "cáscara". Entre más cerca este un punto a la "cáscara" el radio que se necesita para que la bola se quede dentro será más pequeño. Para un punto \(p\in B_r(p_0)\) proponemos \(\rho(p)=r-\|p-p_0\|\). Notar que \(\rho(x)> 0\) pues \(\| p-p_0\| < r \).
Vamos a probar que \(B_{\rho(x)}(p) \subseteq B_r(p_0)\). Dado \(q \in B_{\rho(x)}(p)\) se tiene que \(\|q-p\| < \rho(x)\) y al estimar la distancia de \(q\) a \(p_0\) tenemos, por la desigualdad del triángulo, que \begin{eqnarray*} \| p_0-q\| &\leq & \|p_0-p\| + \| p-q\| \\ &<& \|p_0-p\| + \rho(x)\\ &=& \|p_0-p\|+ r-\|p-p_0\| \\ &=&r \end{eqnarray*} por lo tanto \(q\in B_{r}(p_0) \). Concluimos que \(B_{\rho(x)}(p)\subseteq B_r(p_0)\).
Sean \(U_1,\dots, U_n \subseteq \mathbb{R}^d \) una familia de subconjuntos abiertos. Para probar que \(\cap_{i=1}^n U_i\) es abierto debemos de probar que para todo \(p\in \cap_{i=1}^n U_i\) exsite \(r> 0\) tal que \(B_r(p)\subseteq \cap_{i=1}^n U_i\).
Al ser \(U_i\) abierto y tener que \(p\in U_i\) se sigue que existe un \(r_i>0\) tal que \(B_{r_i}(p) \subseteq U_i\). Si definimos \(r=\min_{i=1,\dots, n}\{r_i\}\) notamos que para toda \(i=1,\dots, n\): \[ B_r(p)\subseteq B_{r_i}(p)\subseteq U_i \] por lo tanto \(B_r(p)\subseteq \cap_{i=1}^n U_i\).
Sea \(\{U_i\}_{i\in I}\) una familia arbitraria de abiertos (decimos arbitraria pues el conjunto de índices \(I\) puede ser finito o infinito, por ejemplo \(I=\{1,\dots, n\}\) ó \(I=\mathbb{N}\)). Debemos de probar que \(\cup_{i\in I}U_i\) es abierto.
Fijamos \(p\in \cup_{i\in I}U_i\) arbitrario. Entonces existe almenos un \(i_0\) para el cual \(p\in U_{i_0}\). Al ser \(U_{i_0}\) abierto existe un \(r>0\) para el cual \(B_r(p)\subseteq U_{i_0}\). Ya que \(U_{i_0}\subseteq \cup_{i\in I}U_i\) concluimos que \[ B_r(p)\subseteq \cup_{i\in I} U_i. \] Al ser \(p\) arbitrario concluimos que la unión es abierta.
Sean \(U_1\subset \mathbb{R}^n, U_2\subset \mathbb{R}^m\) subconjuntos abiertos. Entonces \(U_1\times U_2 \subset \mathbb{R}^{n+m}\) es abierto.
Un subconjunto \(F\subseteq \mathbb{R}^n\) se llama cerrado en \(\mathbb{R}^n\) (o simplemente cerrado) si su complemento es abierto.
Por ejemplo el conjunto vacío y el total \(\mathbb{R}^n\) son subconjuntos cerrados.
Nota: la demostración se obtiene directamente de la Proposición 6.6 usando las leyes de De-Morgan.
Sean \(F_1\subset \mathbb{R}^n, F_2\subset \mathbb{R}^m\) subconjuntos cerrados. Entonces \(F_1\times F_2 \subset \mathbb{R}^{n+m}\) es cerrado.
Sea \(A \subseteq \mathbb{R}^n\).
Un punto \(p\in \mathbb{R}^n\) se llama punto interior de \(A\) si existe \(r> 0 \) tal que \(B_r(p)\subseteq A\).
Observación: si \(p\) es un punto interior de \(A\) necesariamente se tiene que \(p\in A\). Por lo tanto para todo conjunto se cumple que \(A^o \subseteq A\).
Al conjunto de puntos interiores del conjunto \(A\) se le llama el interior de \(A\) y se denota por \(\operatorname{int}(A)\) o \(A^o\). Nota: puede pasar que \(A^o=\emptyset\).
Un subconjunto \(U\subseteq \mathbb{R}^n\) es abierto si y sólo si todo punto de \(U\) es un punto interior de \(U\). En otras palabras, \(U\) es abierto si y sólo si \(U=U^o\).
Sea $U$ un conjunto abierto y $x \in U$. Por definición existe $r>0$ tal que $B_r(x) \subseteq U$ y por lo tanto $x$ es un punto interior de $U$.
Supongamos ahora que todo punto de $U$ es punto interior, en otras palabras, para cada $x \in U$ existe $r>0$ tal que $B_r(x) \subseteq U$, pero ésto no es más que la definición de ser abierto.
Sea \(A\subseteq \mathbb{R}^p\). Prueba que el interior de \(A\), \(A^o\) es un conjunto abierto.
Además prueba que es el conjunto abierto más grande contenido en \(A\), es decir, si \(U\) es abierto y \(U\subseteq A\) entonces \(U\subseteq A^o\).
Si $int(A) = \emptyset$ entonces por por vacuidad es abierto. Si $int(A) \neq \emptyset$ podemos considerar $x \in int(A)$. Al ser punto interior de $A$ existe $r>0$ tal que $B_r(x) \subseteq A$. Veremos que $B_r(x) \subseteq int(A)$. Sea $y \in B_r(x)$, es decir, $\|y-x \| < r.$ Definimos $s = r - \|y-x\| > 0$, entonces si $z \in B_s(y)$ tenemos que \begin{equation*} \|z - x\| \leq \|z - y\| + \|y - x\| < s + \|y - x\| = (r -\|y - x\|) + \|y - x\| = r, \end{equation*} por lo que $z \in B_r(x) \subseteq A$ y por lo tanto $B_s(y) \subseteq A$, lo cual significa que $y \in int(A)$ y más en general que $B_r(x) \subseteq int(A)$. Con ello concluye la prueba de que $int(A)$ es un conjunto abierto.
Veamos ahora que $int(A)$ es el abierto más grande contenido en $A$. Sea $U \subseteq A$ abierto, veremos que todos los puntos de $U$ son puntos interiores de $A$. Considere $x \in U$, dado que $U$ es abierto existe $r>0$ tal que $B_r(x)\subseteq U$. Por hipótesis $U \subseteq A$ así $B_r(x) \subseteq A$ y se concluye que $x \in int(A)$, es decir, $U \subseteq int(A)$ y el conjunto de puntos interiores de $A$ es el abierto más grande contenido en $A$.
Sea \(A \subseteq \mathbb{R}^n\).
Un punto \(p\in \mathbb{R}^n\) se llama se llama punto de acumulación de \(A\) si para todo \(r>0\) existe un punto \(q \in B_r(p)\cap A\) con \(q\ne p\). Es decir, toda bola centrada en \(p\) contiene puntos de \(A\) distintos del centro.
En términos de bolas perforadas tenemos que para todo \(r>0\), \(\check{B}_r(p)\cap A \ne \emptyset \).
Por ejemplo el \(0\) es punto de acumulación del conjunto \(\{\frac{1}{n}\}_{n=1}^\infty\) pues para toda \(r>0\) existe un natural \(m\) con \(0 < \frac{1}{m} < r\).
Notas:
Un subconjunto \(F\subseteq \mathbb{R}^n\) es cerrado si y sólo si contiene a todos sus puntos de acumulación.
\(\Rightarrow] \) Supongamos que \(F\) es un conjunto cerrado pero existe un punto de acumulación, digamos \(q\), tal que \(q\notin F\).
Ya que \(F\) es cerrado su complemento es abierto y ya que \(q\notin F\) existe un \(r>0\) tal que \(B_r(q)\) está contenido en \(F^c\). Finalmente ya que \(q\) es punto de acumulación de \(F\) existe un \(p\in F\), \(p\ne q\) con \(p\in B_r(q)\) lo cual es una contradicción pues \(p\in B_r(q)\subseteq F^c\).
\(\Leftarrow]\) Supongamos que todos los puntos de acumulación de \(F\) pertenecen a \(F\). Debemos de probar que \(F\) es cerrado es decir, su complemento es abierto. Así pues debemos de probar que para todo punto de \(F^c\) existe una bola centrada en el punto totalmente contenida en \(F^c\).
Tomamos \(q\in F^c\). Ya que todos los puntos de acumulación están en \(F\) \(q\) no puede ser punto de acumulación de \(F\) por lo que existe un \(r_0>0\) tal que \(\check{B}_{r_0}(q) \subseteq F^c \) pero tomando en cuenta de que \(q\notin F\) el centro de la bola también está en \(F^c\) y por lo tanto \(B_r(q)\subseteq F^c\).
Sea \(A\subseteq \mathbb{R}^n\). La cerradura de \(A\), denotada \(\overline{A}\), se define como \[ \overline{A}=A\cup \{p\in \mathbb{R}^n: \textrm{ \(p\) es punto de acumulación de \(A\)} \} \]
Por ejemplo \[ \overline{\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x^2 +y^2 < r^2\}}=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x^2 +y^2 \leq r^2\} \]
Sea \(A\subseteq \mathbb{R}^n\). Su cerradura, \(\overline{A}\) es un subconjunto cerrado.
Además es el subconjunto cerrado más chico que contiene a \(A\). Es decir, si \(F\) es cerrado y \(A\subseteq F\) entonces \(\overline{A}\subseteq F\).
Por simplicidad denotamos \[ A'=\{p\in \mathbb{R}^n: \textrm{ \(p\) es punto de acumulación de \(A\)} \}. \]
Con esta notación tenemos que \(\overline{A}=A\cup A'\).
Vamos a probar que \(\overline{A}\) es cerrado o equivalentemente que \((\overline{A})^c=A^c \cap (A')^c\) es abierto.
Sea \(p\in (\overline{A})^c\). P.D. existe \(r>0\) tal que \(B_r(p)\subseteq (\overline{A})^c\).
Como \(p\in (\overline{A})^c=A^c \cap (A')^c\) entonces \(p\in (A')^c\) y por lo tanto existe \(r>0\) tal que \( \hat{B}_r(p)\cap A =\emptyset \) ó equivalentemente \(\hat{B}_r(p)\subseteq A^c\).
Afirmación: \(B_r(p)\subseteq (\overline{A})^c \).
Razón: sea \(q\in B_r(p) \) arbitrario. P.D. \( q\in (\overline{A})^c=A^c \cap (A')^c\).
Caso 1: \(q=p\). En este caso es inmediato que \(q=p\in (\overline{A})^c\).
Caso 2: \(q\ne p\). En este caso \(q\in \hat{B}_r(p)\subseteq A^c \) lo que implica \begin{equation}\label{Eqn:Aux1Cerradura} q\in A^c. \end{equation} Por otro lado como \(q\in \hat{B}_r(p)\) y \(\hat{B}_r(p)\) es abierto existe \(s>0\) tal que \(B_s(q) \subseteq \hat{B}_r(p)\) lo que implica \(\hat{B}_s(q)\subseteq \hat{B}_r(p)\subseteq A^c\) y por lo tanto \begin{equation}\label{Eqn:Aux2Cerradura} q\in (A')^c. \end{equation}
Por \eqref{Eqn:Aux1Cerradura} y \eqref{Eqn:Aux2Cerradura} concluimos \(q\in (\overline{A})^c\).
Sea \(F\subset \mathbb{R}^n\) cerrado con \(A\subseteq F\). P.D. \(\overline{A}\subseteq F\).
Como \(\overline{A}=A\cup A'\) y \(A\subseteq F\) es suficiente probar que \(A'\subseteq F\).
Sea \(p\in A'\). Entonces para todo \(r> 0\), \(\hat{B}_r(p)\cap A \ne \emptyset\). Ahora, tenemos que \(A\subset F\) por lo también tenemos \(\hat{B}_r(p)\cap F\ne \emptyset\) y al ser \(r>0\) arbitrario conlcuimos que \(p\) es punto de acumulación de \(F\). Como \(F\) es cerrado se sigue que \(p\in F\). Al ser \(p\) arbitrario concluimos \(A'\subseteq F\).
Sea \(A\subseteq \mathbb{R}^d\). Un punto \(p\in \mathbb{R}^d\) es punto de acumulación de \(A\) si y sólo si para toda \(r> 0\) el conjunto \(B_r(p)\cap A\) es infinito.
\(\Rightarrow ] \) Fijamos un \(r>0\). Al ser \(p\) un punto de acumulación de \(A\) existe un punto \(p_0 \in B_r(p)\cap A\) con \(p_0 \ne p\). Definimos \(r_1=\|p-p_0 \|/2 >0 \) (positivo pues \(p_0\ne p\)).
Utilizando de nuevo que \(p\) es punto de acumulación de \(A\), para \(r_1\) existe \(p_1\in B_{r_1}(p)\cap A\) con \(p\ne p_1\). Nota que \(p_1\ne p_0\) pues \(\| p-p_1\|< \|p-p_0 \|\). Definimos \(r_2=\|p-p_1\|/2 > 0\).
Continuando de esta mandera dados los puntos \(p_0,\dots, p_k\) con \(\|p-p_k\|< \| p-p_{k-1}\| < \cdots < \|p-p_0\|< r \), tomamos \(r_{k+1}=\|p-p_k\|/2 >0\) y un punto \(p_{k+1}\in B_{r_{k+1}}(p)\cap A\) con \(p_{k+1}\ne p\). Con esta construcción todos los puntos \(\{p_0, \dots, p_{k+1}\}\) son distintos y están en \(B_r(p)\cap A\). Con ésta construcción obtenemos un conjunto infinito \(\{p_k\}_{k\in \mathbb{N}}\) contenido en \(B_r(p)\cal A\).
\(\Leftarrow ]\) Es directo que si suponemos que \(B_r(p)\cap A\) es infinito entonces existe \(q\in B_r(p)\cap A\) con \(q\ne p\).
Si \(p\) es un punto de acumulación de \(A\) entonces existe \((p_n)_{n=1}^\infty\) una sucesión de puntos de \(A\) tal que \[ \lim_{n\to \infty}\| p_n-p\|=0. \]
Prueba que cualquier subconjunto finito \(S \subset \mathbb{R}^n\) es un conjunto cerrado.
Hint: prueba que el complemento de \(S\) es abierto.
Nota: de manera similar el conjunto \(\{(x_1,\dots, x_d)\in \mathbf{R}^n: x_i < \varepsilon \}\) es abierto.
EL conjunto \[ B_r(p_0)=\{p\in \mathbb{R}^n: \| p-p_0\| > r \} \] es abierto.
Da un ejemplo que muestre que la Intersección arbitraria de conjuntos abiertos no es necesariamente abierto.
Da un ejemplo que muestre que la unión arbitraria de conjuntos cerrados no es necesariamente cerrado.
Prueba que los siguientes subconjuntos son cerrados.
Encuentra el interior de los siguientes conjuntos.
Encuentra los puntos de acumulación de los siguientes conjuntos.
Nota: intuitivamente un punto de acumulación de un conjunto \(A\) es un punto donde a su alrededor siempre hay una infinidad de puntos de \(A\).
Dado \(A\subseteq \mathbb{R}^n\) un punto frontera de \(A\) es un punto \(p\in \mathbb{R}^n\) que satisface: \[ B_r(p)\cap A \ne \emptyset, \quad \textrm{y} \quad B_r(p)\cap A^c \ne \emptyset \] para todo \(r>0\). Nota: \(A^c\) denota el complemento de \(A\).
El conjunto formado por todos los puntos frontera de \(A\) se denota por \(\partial A\). Por ejemplo, \(\partial([a,b])=\{a,b\}\).
Para los siguientes conjuntos encuentra \(\partial A\).
Considera el subconjunto de \(\mathbb{R}^2\) definido por: \[ A = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : 1 \leq x^2 + y^2 < 25 \} \] Demuestra que:
Sean \(U \subset \mathbb{R}^n\) un conjunto abierto y \(F \subset \mathbb{R}^n\) un conjunto cerrado. Prueba que el conjunto diferencia \(U \setminus F\) es un conjunto abierto.
Hint: Recuerda que \(U \setminus F = U \cap F^c\).
Sea \(A = \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x, y \in \mathbb{Q} \}\). Encuentra \(\partial A \).
Prueba que para cualesquiera dos conjuntos \(A, B \subseteq \mathbb{R}^n\), se cumple la igualdad: \[ \operatorname{int}(A \cap B) = \operatorname{int}(A) \cap \operatorname{int}(B) \] ¿Se cumple la misma igualdad para la unión, es decir, $\operatorname{int}(A \cup B) = \operatorname{int}(A) \cup \operatorname{int}(B)$? Si no, da un contraejemplo.
Encuentra todos los puntos de acumulación del conjunto: \[ A = \left\{ \left( \frac{1}{n}, \frac{1}{m} \right) \in \mathbb{R}^2 : n, m \in \mathbb{N} \right\}. \]
Considera el conjunto \(A = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : y = x^2 \}\), que representa una parábola en el plano. Prueba que \(\operatorname{int}(A) = \emptyset\).
Sea \(A \subseteq \mathbb{R}^n\) un conjunto. Prueba que la frontera \(\partial A\) siempre es un conjunto cerrado, independientemente de si \(A\) es abierto, cerrado o ninguno de los dos.
Hint: Muestra que el complemento \((\partial A)^c\) es abierto.
Sea \[ A = ( (0,1] \times \{0\} ) \cup \bigcup_{n=1}^\infty ( \{ \frac{1}{n} \} \times [0,1] ) \subset \mathbb{R}^2 \] Encuentra los puntos de acumulación de \(A\) que no pertenecen a \(A\).
Si \(A \subset \mathbb{R}\) y \(B \subset \mathbb{R}\) son intervalos cerrados \([a,b]\) y \([c,d]\) respectivamente, describe geométricamente la frontera del producto \(A \times B\) en \(\mathbb{R}^2\).
¿Es igual al producto de las fronteras \(\partial A \times \partial B\)?.